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Marzo 2014

La curiosa historia de la matemática

Escrito por  Rafael Morales Álvarez
La curiosa historia de la matemática

Solemos pensar que las ciencias, tal y como hoy las conocemos, tienen más fundamentos que en otras épocas. A veces pasa, sin embargo, que un investigador del presente llega a conclusiones que se acercan curiosamente a las que tuvieron en el pasado. Es el caso de Gödel y Platón.

Entre 1870 y 1930 se produjo, en el campo de la lógica matemática, un intento por “limpiar” la matemática de esos misteriosos objetos extralógicos que llamamos axiomas, que solo pueden ser captados por algo tan poco racional como es la intuición, y cimentar la matemática en la pura lógica.

La pregunta, que estaba en el centro de lo que ya Platón describió como “ la batalla que dioses y gigantes libran por la disputa que tienen entre sí acerca de la realidad”,era muy sencilla, pequeña, casi infantil: ¿qué es un número? La búsqueda del número no solo dio una gran sorpresa en el campo de la filosofía matemática, sino que desveló algo inesperado sobre la naturaleza de la mente humana.

Sombras y reflejos

Platón condensó su filosofía matemática en el siguiente fragmento de su libro La República:

–¿Y no sabes también que (los matemáticos) se sirven de figuras visibles acerca de las cuales discurren, pero no pensando en ellas mismas, sino en aquello a que ellas se parecen, discurriendo, por ejemplo, acerca del cuadrado en sí y de su diagonal en sí, pero no acerca de lo que ellos dibujan, e igualmente en los demás casos; y que así, las cosas modeladas y trazadas por ellos, son imágenes de las sombras y reflejos producidos en el agua, y las emplean, de modo que sean a su vez imágenes, en su deseo de ver aquellas cosas en sí que no pueden ser vistas de otra manera sino por medio del pensamiento?

Ian Stewart, en su libro Carta a una joven matemática nos da una bella explicación de esta idea platónica:

El círculo matemático, con su circunferencia infinitamente delgada y un radio que permanece constante con infinitas cifras decimales, no puede tomar forma física”.

Y no puede tomar forma física porque los objetos geométricos que podemos dibujar son defectuosos. El papel es rugoso, el lápiz no es lo suficientemente fino y la mano es imprecisa. Incluso si construyéramos figuras geométricas átomo a átomo serían todas imperfectas. Los planos, conos o triángulos así construidos, átomo a átomo, parecerían estar llenos de agujeros y no serían planos ni rectos; incluso una simple línea nos parecería tosca y sinuosa. Los objetos geométricos perfectos: puntos sin extensión, líneas sin grosor, círculos, triángulos, conos, números… solo existen en el mundo platónico de los ideales.

Desde los griegos, la matemática se ha desarrollado basándose en esta filosofía, en donde un número pequeño de axiomas soportan todo el peso de las infinitas proposiciones que de ellos podían derivarse. Y así está reflejado en los sistemas axiomáticos de la geometría de Euclides y los axiomas de la teoría de números que fueron establecidos por Giuseppe Peano en 1889. Los cuatro primeros son:

  • 0 es un número natural.
  • Cada número natural tiene un sucesor.
  • Ningún número natural tiene 0 como su sucesor.
  • Los números naturales distintos tienen sucesores distintos.

En este tipo de sistemas, la palabra axioma hace referencia a lo más sencillo en que se resuelve lo complejo, siendo los elementos más sencillos o primitivos cosas no de este mundo, sino ideas intuitivas del mundo platónico. Nótese que parte de la afirmación de que “El 0 es un número natural” , y añade que “ningún número natural tiene 0 como su sucesor”, o sea, no solo parte de una idea intuitiva e indemostrable, sino que parece sugerir que el “0”, al no tener antecesor, surge de la nada, o al menos admite que no sabemos de dónde viene.

Aristóteles captó perfectamente el problema cuando afirmó : ”Toda ciencia demostrativa tiene que partir de principios indemostrables; de otro modo, los pasos de la demostración serían infinitos”.

Roger Penrose, profesor emérito de Matemáticas en la Universidad de Oxford, nos dice al respecto:

Lo que Gödel nos dice es que ningún sistema de reglas computacionales puede caracterizar las propiedades de los números naturales. Pese al hecho de que no hay forma computacional de caracterizar los números naturales, cualquier niño sabe lo que son. (…) Yo diría que el niño es capaz de establecer algún tipo de contacto con el mundo platónico de las matemáticas.

Echemos a Platón

Cuando los matemáticos se dieron cuenta de que la matemática, la reina de la ciencia, se había construido sobre principios indemostrables, quedaron abatidos. Porque si la simple aritmética está construida sobre ideas indemostrable e intuitivas, entonces ¿qué diferencia hay entre matemática y religión o arte?

Para cambiar esta desagradable situación, logicistas y formalistas se propusieron “limpiar”la matemática de metafísica, de “aquellas cosas en sí que no pueden ser vistas de otra manera sino por medio del pensamiento”.

Con ese propósito, Bertrand Russell y su colaborador Alfred North Whitehead, intentaron, en su impresiónate obra Principia Mathematica, sustituir las verdades indemostrables e intuitivas del mundo de Platón por verdades de la lógica guiadas, a su vez, por las reglas de la pura lógica.

Dice la Prof.ª Delia S. Guzmán:

“Es casi imposible rebatir las teorías platónicas. Hay filósofos que lo han intentado y se han quedado a mitad de camino; lo más que pueden decir es que están de acuerdo, o a veces, ampliar un tema; pero alejándose de las teorías platónicas se llega a un absurdo”.

Y a eso fue a lo que se llegó, a un absurdo. Durante su trabajo, Russell se dio cuenta de que la lógica no era fiable, de que incluso dentro de la lógica elemental surgían contradicciones y paradojas insuperables. O sea, ese camino fue un callejón sin salida.

Kurt Gödel

matematica einstein godel 1951Para zanjar esta cuestión, en 1928, los matemáticos Hilbert y Ackerman preguntaron si existía un método mecánico (ordenador) capaz de determinar la verdad o falsedad de cualquier proposición matemática, sin tener que apelar a la intuición ni a Platón. A este problema lo llamaron el Entscheidungsproblem (problema de decisión), en donde las palabras “método mecánico” hacen referencia a un sistema basado en símbolos formales carentes de significado y manejados por la regla mecánica de la lógica. En definitiva, un sistema como el de Principia Mathematica, pero libre de contradicciones y de las molestas nociones platónicas de verdad. Para contestar a esta pregunta de forma definitiva, y en palabras de D. Hofstadter:

A Gödel se le ocurrió la idea de utilizar el razonamiento matemático para explorar el razonamiento matemático”, y la respuesta que encontró a la pregunta de Hilbert fue que no, que no es posible construir tal sistema.Este descubrimiento fue calificado en 1952, cuando fue nombrado doctor honorario en Ciencias por Harvard, como: "… la verdad matemática más significativa del siglo”. Para demostrar su respuesta, Gödel construyó un sistema formal capaz de demostrar que los sistemas formales son incompletos. Sus dos teoremas dicen así:

  • Dado cualquier conjunto consistente de axiomas, lo bastante amplio para contener la aritmética, incluye proposiciones indecidibles.
  • En toda teoría aritmética consistente G, la fórmula consistente G no es un teorema.

Como hemos visto, toda la aritmética (1, 2, 3… infinito) está contenida entre estas dos ideas indemostrables: la idea del “1” y la de “infinito”. Lo que Gödel demostró es que, además de partir de principios indemostrables, dentro hay fórmulas, verdades aritméticas derivadas de dichos axiomas, que tampoco son demostrables con las propias herramientas de dichos sistemas, como, por ejemplo, la conjetura de Goldbach.

Pero todavía quedaba una pequeña esperanza para logicistas y formalistas, la de poder ampliar las herramientas de los sistemas hasta hacerlos capaces de demostrar dichas fórmulas. La repuesta a esto, por parte de Gödel, también fue negativa. Por mucho que ampliemos los sistemas, siempre contendrán fórmulas indecidibles para dicho sistema. Roger Penrose describe la situación de esta forma:

El sistema matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz, por principio, de probar la verdad o falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin demasiada dificultad ”.

Creo que, en general, lo que Gödel demostró es que la verdad es un concepto muy superior a la demostrabilidad. Y que la mente humana posee cierta capacidad, que podemos llamar intuición del mundo platónico de los arquetipos, que la hace superior a cualquier sistema mecánico-lógico (ordenador) que exista ahora o en el futuro.

La concepción platónica es la única sostenible

matematica--godelLo que estaba ocurriendo, a finales del siglo XIX y principios del XX, era realmente sorprendente y revolucionario. Parecía que la batalla que dioses y gigantes disputan acerca de la realidad la estaba ganando Platón.El filósofo Palle Yourgrau lo expresa así en su libro A World Without Time:

“Las conclusiones de Gödel nos llevaron al realismo matemático, mientras que las de Heisenberg nos llevaron al irrealismo de la física”.

Y fue en 1951, durante la conferencia Gibbs, en donde Gödel expresó su realismo matemático de forma más explícita.

“Tengo la impresión de que tras la suficiente clarificación de los conceptos en cuestión, será posible conducir estas discusiones con rigor matemático, y de que el resultado será entonces que (bajo ciertas hipótesis que difícilmente pueden negarse, en particular la hipótesis de que existe absolutamente algo como el conocimiento matemático) la concepción platónica es la única sostenible. Con ello me refiero a la concepción de que la matemática describe una realidad no sensible, que existe independientemente tanto de los actos como de las disposiciones de la mente humana, y que es solo percibida por ella, aunque probablemente de forma incompleta”.

Y añade: “ No veo motivo alguno para que debamos tener menos confianza en este tipo de percepción, es decir, en la intuición matemática, que en la percepción de los sentidos”.

El matemático G. H. Hardy estaba de acuerdo con esto, y en su libro A Mathematician’s Apology escribió esta interesante reflexión:

“Creo que la realidad de los entes matemáticos se encuentra fuera de nosotros, que nuestra función es la de descubrirlos u observarlos, y que los teoremas que probamos y que describimos grandilocuentemente como nuestras ’creaciones’, son simplemente notas de nuestras observaciones”.

Para Gödel, al igual que para Hardy y otros muchos científicos y filósofos, los objetos matemáticos no son un invento humano, los descubrimos de la misma forma que descubrimos montañas, ríos o planetas. Y en cierta forma, Gödel hizo realidad el sueño de los primeros matemáticos de la Academia de Platón: una demostración matemática de lo invisible. En palabras del matemático Hao Wang:

Gödel hizo por la metafísica lo que Newton hizo por la física”.

 

Bibliografía

  • PENROSE, Roger, La nueva mente del emperador.
  • PENROSE, Roger, Lo grande, lo pequeño y la mente humana.
  • GOLDSTEIN, Rebecca, The Proof and Paradox of Kurt Gödel.
  • YOURGRAU, Palle, A World Without Time.
  • NAGEL, Ernest y NEWMAN, James R., El teorema de Gödel.
  • WANG, Hao, A Logical Journey: From Gödel to Philosophy.
  • PLATÓN, La República.
  • ARISTÓTELES, Metafísica.
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