Julio 2015

La geometría fractal, una matemática dinámica

Escrito por  Jorge Alvarado Planas
La geometría fractal, una matemática dinámica

Dicen que el desarrollo científico del siglo XX pasará a la historia, en la memoria del hombre, por solo tres cosas: la teoría de la relatividad, la mecánica cuántica y la teoría del caos, considerada como la tercera gran revolución científica de este siglo.

Esta nueva teoría afirma que toda la belleza de la Naturaleza, con su enorme polimorfismo, no está sujeta a leyes complejas, sino que proviene de procedimientos muy simples, aunque de tipo no lineal. Por ejemplo, la molécula de agua es simplísima, pero si se congela y se aúna con otras moléculas, da origen a las complejas formas de los cristales de nieve. Y ningún cristal es exactamente igual a otro.

Ahora sabemos que todo en la Naturaleza se comporta de manera no lineal; hasta hace muy poco no teníamos la posibilidad de un método matemático para estudiar este hecho. Nuestra matemática era lineal, estática. La geometría fractal obedece a una matemática dinámica, del movimiento, del constante fluir, a la manera del presocrático Heráclito.

La concienciación científica del caos comenzó con los experimentos de Edward Lorenz, en la década de los 60, sobre las variaciones climáticas de la Tierra. Así descubrió el llamado «fenómeno de la mariposa», según el cual el suave vuelo de una mariposa en China puede influir en el clima de los Estados Unidos provocando huracanes. Este extraño fenómeno nos muestra que todo sistema dinámico tiene una gran sensibilidad y dependencia con respecto a las condiciones iniciales. Esta sensibilidad y dependencia inicial es la responsable de la aparición del caos en cualquier momento. Este descubrimiento se hace eco del refrán popular que dice: «Por un clavo se perdió la herradura. Por una herradura se perdió el caballo. Por un caballo se perdió el jinete. Por un jinete se perdió la batalla. Por una batalla se perdió el imperio».

La enseñanza filosófica del karma es un ejemplo que puede ajustarse a este modelo. Muy pequeños detalles, en la cadena de causas y efectos, pueden provocar resultados inmensamente complejos, aparentemente fortuitos, impredecibles y caóticos. Sin embargo, ahora ya sabemos que existe también un superorden dentro del caos, y el aparente caos y casualidad en la vida y la historia obedece a causas y leyes de un nivel superior, dinámico y no lineal.

Un número que permite comprender el caos

Mitchell FeigenbaumFue, sin embargo, el físico americano Mitchel Feigenbaum, un romántico que buscaba su inspiración en Goethe y en Gustav Mahler, quien hizo el gran descubrimiento: la que se ha dado en llamar ley de la universalidad. A mediados de la década de los 70 descubrió el modo concreto en que una conducta regular en un sistema pasa a convertirse en conducta caótica. Observó una clase de traspaso del orden al caos que ocurría en un modelo matemático concreto, y se preguntó si ese mismo traspaso, con los mismos ritmos de cambio, sucedería también en otros modelos. Así, vio que de diferentes ecuaciones matemáticas, de las cuales nadie esperaría que salieran los mismos números, sin embargo salían.

El número universal de Feigenbaum es un nuevo número trascendental (como el número áureo, o el número e de los logaritmos neperianos), que permite comprender el caos. Su valor es 4,6692016090, con infinitos decimales más. La universalidad expresa una ley natural de los sistemas en su paso del orden al caos; es válida cualitativa y cuantitativamente, no solo para las formas naturales, sino también para los números exactos. El caos y el azar son la expresión de una ley matemática desconocida hasta ahora, de un superorden de carácter universal, válido para cualquier ser o sistema en comportamiento dinámico. La universalidad significa que sistemas diferentes se comportan del mismo modo, o dicho de otra manera, es el principio hermético de «Como es arriba es abajo, como es abajo es arriba».

Los sistemas dinámicos caóticos no respondían, sin embargo, a ningún modelo geométrico conocido capaz de describirlos. Se necesitaba una nueva geometría capaz de explicarnos por qué la conducta caótica de la Naturaleza, sus formas informales y dinámicas, nos parecen hermosas y estéticas; explicarnos la estética natural, con sus leyes y causas, de los esquemas caóticos de las nubes, de las montañas, de los relámpagos, de los ríos, de las ramificaciones arborescentes, que no parecían obedecer a ningún orden establecido, a ningún modelo geométrico «lógico» y no casual.

La geometría fractal, desarrollada por el matemático americano Benoit Mandelbrot en los años 70, vino a cubrir ese hueco. El contenido de esta nueva geometría son los llamados objetos fractales, cuya característica principal es la autosemejanza; es decir, que cada una de sus partes, en diferentes escalas de magnitud, es semejante al conjunto total. El objeto se repite, se «reproduce» a sí mismo en sus partes, en cualquier escala en que sea considerado. Los objetos fractales son así seres vivos, con capacidad de autorreproducción en lo infinitamente grande y en lo infinitamente pequeño. Se trata, pues, de la encarnación científica actual del principio hermético de la analogía «Como es arriba es abajo, como es abajo es arriba», que ya mencionamos anteriormente.

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