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Septiembre 2010

Números y figuras geométricas

Escrito por 
Números y figuras geométricas

Por Óscar Acevedo y Daniel Romero

Como se había mencionado en el artículo publicado en agosto, el Universo está simbolizado en la Década pitagórica. Blavatsky comenta  que el punto superior es la Mónada o la Unidad de la que todo procede y es el ápice del triángulo equilátero que representa al Padre, Madre e Hijo; los diez puntos dentro del triángulo representan el mundo fenomenal; los tres lados son las barreras de la materia noumenal que la separan del mundo del pensamiento. “Según Pitágoras, la Mónada vuelve al silencio en cuanto ha desplegado la Tríada, de la que emanan los Siete Números restantes, de los Diez que son la base del universo manifestado”.

(HPB. Doc. Sec. Volumen II, sección XII.)

La importancia de estos primeros cuatro números, se halla también en relación con la teoría musical griega, donde los intervalos surgen como relaciones entre estos números, dando lugar a las siete notas musicales que se siguen empleando hoy, razón por la cual se consideraba que la tetracto es el conjunto de los cuatro números cuyas razones representan los acordes musicales esenciales. En el enigmático pasaje del Timeo de Platón, al hablar del ritmo del Alma del Mundo, emplea el doble tetracto musical de los Pitagóricos: (1,2,4,8) y (1,3,9,27). Una serie de dobles y otra de triples con las que se compone la Armonía del Universo y con la que se obtienen 35 acordes.



Y ya en el campo geométrico, “Pitágoras consideraba que un punto corresponde en proporción a la unidad; una línea al 2; una superficie al 3; un sólido al 4; y definía un punto como una mónada que tiene posición y es el principio de todas las cosas; una línea corresponde a la dualidad, por que era producida por el primer movimiento de la naturaleza indivisible... Se comparaba una superficie con el 3, por que es la primera de todas las causas que se encuentra en todas las formas... el triángulo es la primera de todas las figuras rectilíneas... Los cuatro puntos de la base del triángulo pitagórico corresponden a un sólido o cubo, que combina los principios de longitud, anchura y espesor, pues ningún sólido puede tener menos de cuatro puntos límites extremos.”

(R.G. Oliver. En Doctrina Secreta. Volumen II, sección XIV)

La Tetraktys, como suma de los primeros Cuatro números, era invocada por los pitagóricos en su juramento de silencio. Expresa el misterio del triángulo a partir de un punto, el “Tres en el Uno”. Los Diez puntos representan el mundo fenomenal. Los números como emanaciones de un punto, crean formas y figuras. Los griegos clasificaban los números por las formas geométricas que surgían de su disposición de puntos dando lugar a los Números Figurados. Volviendo a una de las definiciones de Nicómaco de Gerasa, los Números eran entendidos como una serie animada que brota de la Mónada. Estas unidades pueden ser puntos y dan nacimiento al mundo geométrico y algebraico de los números figurados, planos y sólidos.

Tetraktys

La Década sería de formación cuaternaria, es el cuarto número triangular de la serie: 1, 3, 6, 10, 15, 21,...

Serie de Números Cuadrados.

También dentro de los números figurados poligonales están los cuadrados: 1, 4, 9, 16, 25, 36... = n²

Los Pentagonales 1, 5, 12, 22, 35, 51...= n(3n-1)

Hexagonales: 1, 6, 15, 28, 45, 66.= n(2n-1)

Y así, para cada polígono o figura plana, hay una secuencia dada por una fórmula algebraica que define las particularidades o familias de números. Pero también para las figuras sólidas o poliedros, se pueden definir por patrones de crecimiento en números piramidales o tetraedrales: 1, 4, 10, 20, 35, 56..., donde la secuencia numérica está dada por los vértices del cuerpo sólido.

Igualmente para los Cúbicos: 1, 8, 27, 64, 125...

Y para los Octaedrales, Icosaedrales, Dodecaedrales, paralelepípedos, etc.

A partir de un punto y de series de números emparentados, los griegos entendían que se puede conformar cualquier cuerpo geométrico y a partir de las figuras geométricas se obtienen las diferentes formas de la naturaleza. Los matemáticos de épocas recientes, pueden calcular series para figuras en la cuarta, quinta y más dimensiones. Y así mismo, en los campos de la física y la química, los científicos van llegando a conclusiones en las cuales el mundo manifestado está regido por leyes matemáticas que se expresan en formas geométricas de acuerdo a una función y una finalidad.

En el mundo perceptible solo la estructura, la forma, el ritmo, tienen carácter de realidad. El Número es la esencia de la forma. Lo que no se ve pero se percibe más allá de lo visible. El Número como primera objetivación mental abstracta se manifiesta a través de formas geométricas. Cada número tendría su reflejo objetivo, dando lugar a un proceso Aritmético y otro Geométrico reflejo. Ya desde la antigüedad, se había observado que a todo hecho geométrico le correspondía una ley aritmética paralela y que toda Armonía depende de una Proporción es decir de una relación numérica.

Razón y Proporción

La Relación entre dos elementos o dos números, nos da un valor cuantitativo. En Aritmética y álgebra esa relación se define como una división. Según Euclides, “Razón es la relación cualitativa en lo que se refiere a la dimensión entre dos magnitudes homogéneas. La Proporción es la igualdad entre dos razones”.

(Euclides. En M. Ghyka. Número de Oro. Pag.27.)

Lo usamos comúnmente como un ejercicio de comparación. Decimos que un cuerpo humano es proporcionado si guarda unas relaciones entre las partes y el todo. Cada parte del cuerpo tiene unas dimensiones características, en relación con otras partes y con el conjunto. Esto nos define un sistema de proporciones, de manera que cuando algo es apto para cumplir con sus funciones de forma eficaz, decimos que hay Armonía o Euritmia. Vitruvio define la armonía en su tratado constructivo, como la conveniente disposición entre las partes y el todo, y por lo tanto depende de la proporción.

En términos algebraicos A/B es una Razón. Es una comparación de dos magnitudes, que se pueden sustituir por el cociente o resultado de la división, cuando se trata de números concretos. Por ejemplo: la razón 4/2 es igual a 2. Esto significa que cualquier número, ya sea entero, fraccionario o racional, puede representar una razón, una medida y por lo tanto es posible ubicarlo en una recta como sucesión de puntos. Como explica M. Ghyka, se trata de una operación de juicio, percepción exacta de las relaciones entre las cosas o las ideas.

Cuando se comparan dos o más razones, se establecen lazos de analogía o equivalencia, lo cual es una función más sintética de la inteligencia, que armoniza, que enlaza diversos juicios o percepciones elementales, entonces obtenemos una Proporción que en términos matemáticos se expresa como: A/B = C/D. Se lee: “A es a B como C es a D.”

Por ejemplo: 4 es a 2, como 12 es a 6.

Se necesitan un mínimo de tres términos para establecer una proporción: A/B = C/A

Como en el caso en que los términos intermedios B y C, sean el mismo número: 12/6 = 6/3.

Esta proporción es llamada también geométrica o continua, de la que surge la semejanza en las figuras y la analogía entre los planos y los volúmenes. Pero esta proporción es una de los Diez tipos de Proporción que empleaban los griegos, definidos por Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna. Tres de ellas, empleadas en la música, fueron establecidas por los pitagóricos y transmitidas a Platón por Arquitas de Tarento. Precisamente en el Timeo, Platón las cita para la composición del Alma del Mundo por parte del Demiurgo. Estas tres Proporciones son:

La Proporción Geométrica. En la cual la razón entre el primer término y el término medio es igual a la razón entre éste y el último término. a/b =b/c. Ej : 3,6,12.

La Proporción Aritmética o semisuma: Aquí el término medio excede al menor en una cantidad igual en la que es excedido por el más grande. b = a+c/2. Ej: 2,4,6

La Proporción Armónica: En la que el término medio sobrepasa al menor en una fracción de éste, y el término mayor sobrepasa al medio en la misma fracción del término mayor. b-a = a(c-b)/c. Ej: 6,8,12. Aquí el 8 sobrepasa al 6 en un tercio de éste (2), y al mismo tiempo es sobrepasado por un tercio del término mayor (4).

Armonizar es llenar intervalos entre dos términos dados, encontrando medias que dan nacimiento a la proporción. Se encuentra entonces un vínculo entre la geometría y la música, como se comprueba en algunos diálogos de Platón, tales como la República y el Timeo, donde se expresan ritmos con intervalos en determinadas proporciones, que buscan obtener una consonancia o acorde. En las artes plásticas se logra la Euritmia basada en la analogía de las formas y las proporciones entre superficies y volúmenes, como también los expresa Vitrubio en sus escritos, donde la simetría es el acorde de medidas entre los diversos elementos de la obra, tomando como ejemplo el cuerpo humano en el que se hayan consonancias entre cada parte y el conjunto. En al Arte como en el cuerpo humano, cuando hay una adecuada proporción, es decir una relación conveniente entre alto, ancho y profundo para cada parte y su relación con el todo, entonces hay Euritmia o Armonía.

La variedad de formas y seres en la naturaleza hacen suponer infinitud de relaciones y proporciones.

Cada ser cumple una función y su organismo desarrolla la forma más apta para los diferentes medios y circunstancias. La belleza de un delfín en el agua, en su medio, no es igual cuando está fuera de él; un caballo es armónico a pleno galope por un prado, pero no lo es tanto cuando lucha para atravesar un río. Así cada organismo parece apto para responder a medios concretos. Hay una relación directa entre forma y función, lo cual nos da un tercer ingrediente que llamamos Belleza. Según Vitrubio, un edificio para ser realmente Arquitectura ha de cumplir con una trilogía: “Firmeza, Utilidad y Belleza”.

En términos Platónicos se podría relacionar con “Lo justo, Lo Bueno y Lo Bello”. Tres condiciones que no solo se limitan a términos físicos sino también a los Ideales del Alma.

Sección Áurica

En las obras que nos ha legado la antigüedad clásica, como son los restos arquitectónicos, escultóricos, en la cerámica y en sus poemas, se percibe la síntesis de un conocimiento en el que se expresa  Armonía y Euritmia. Tras todo esto queda la incertidumbre de si existe una clave, una medida o módulo. Los griegos dirían que más que una medida hay una “Justa Proporción”. El sabio ateniense parece expresar esa clave a través de la figura del pitagórico Timeo de Locres:

“Pero, no es posible unir bien dos elementos aislados sin un tercero, ya que es necesario un vínculo en el medio que los una. El vínculo más bello es aquel que puede lograr que el mismo y los elementos por el vinculados, alcancen el mayor grado posible de unidad. La Proporción es la que por naturaleza realiza esto de manera más perfecta. En efecto, cuando de tres números cualesquiera, el término medio es tal que la relación que tiene el primer extremo con él, la tiene él con el segundo y a la inversa, entonces puesto que el medio se ha convertido en principio y fin, y el principio y fin en medio, sucederá que todos son lo mismo y al convertirse en idénticos unos a otros, todos serán uno.”

(Platón. Diálogos - El Timeo. Ed.Gredos. p.175).

Podemos obtener una relación continua con dos magnitudes. Partiendo de una recta divida en dos segmentos por un punto intermedio, donde c = a+b.

Entonces: a / b = a+b / a.

Se obtiene la proporción continua más directa, que define la “Sección Áurea”, donde al dividir la parte mayor por la parte menor, nos da el mismo resultado que al dividir la longitud total por la parte mayor. Esta proporción es denominada por Euclides como “la división de una longitud en media y extrema razón”. En el renacimiento fue llamada “Divina Proporción” por el monje Luca Paccioli, quien le dedicó un tratado, ilustrado por su amigo Leonardo da Vinci, cuando ambos coincidieron en la corte del Duque de Milán.

Entre un número infinito de particiones asimétricas en una recta, la Sección Áurea es la más directa por su ecuación continua, produciendo una impresión de armonía lineal, de equilibrio en la desigualdad. Por esto fue tenida en gran aprecio por los artistas y científicos del Renacimiento italiano. Durante dos siglos estuvo en el olvido y fue redescubierta por el alemán Zeising, como ley de las Proporciones, presente en el cuerpo humano, en especies animales, en la arquitectura antigua, en el crecimiento de las plantas y en la música de los grandes compositores.

A partir de la ecuación polinómica de segundo grado anterior, se obtiene un número de infinitos decimales: 1,6180339... Por sus características especiales fue llamado “Número de Oro” y se designó con la letra griega F (Phi), en honor al escultor griego Fidias, en cuyas obras aparece a menudo este número como proporción para las imágenes de los Dioses y los Héroes.

Es un Número inconmensurable ya que tiene infinitos decimales y que hace parte del conjunto de los Números Irracionales. Esto significa que, como para los griegos todo número natural, entero o fraccionario, puede expresarse como una división, es decir, como una Razón, los anteriores conjuntos: Naturales (serie de números 0,1,2,3,4...), Enteros (Naturales más los negativos) y Fraccionarios (o con decimales finitos), hacen parte del conjunto de los números Racionales. Ya que se pueden razonar. El Número F, así como p (relación entre la circunferencia y su diámetro) y muchas raíces de infinitos decimales, se salen de este conjunto ya que no se pueden expresar como una razón entre dos números.

Por ejemplo, la diagonal de un cuadrado nos da un valor inconmensurable que es v2 (raíz cuadrada de dos), igual 1,4142... Esto supuestamente, según muchos textos de matemáticas actuales, causó un problema entre los matemáticos griegos que no conocían los Números Irracionales. Sin embargo, los trazados que regulan sus expresiones artísticas son sinfonías dinámicas donde predominan estos números y en especial el Número de Oro. Así mismo entre los pitagóricos se sabe que uno de los símbolos de reconocimiento era la estrella de cinco puntas, donde se encierra de diversas formas la proporción áurea.

Siendo n un número cualquiera, en una progresión geométrica cuya razón es F, un término es igual a la suma de los dos precedentes. Es una serie aditiva y multiplicativa a la vez. Como es también el caso de la serie Fibonacci, que rige el crecimiento y la forma de muchas plantas. Esta secuencia fue descubierta en el siglo XIII por Leonardo Fibonacci, al calcular las series de reproducción en los conejos. La secuencia es: 1, 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144... Donde cada número es igual a la suma de los dos precedentes, y curiosamente, al dividir un número por el anterior, el resultado oscila y se acerca a F al ir avanzando en la serie: 1/1=1; 2/1=2; 3/2=1,5; 5/3=1,66..............144/89= 1,6179...

Esta serie genera un crecimiento analógico en una pulsación geométrica creciente. Si partimos de un módulo cuadrado que va aumentando cada 90º según la serie Fibonacci, se obtiene una espiral, dada por las curvas planas que surgen de un polo fijo, lo cual se denomina espiral logarítmica.

Los rectángulos que se forman tienden rápidamente a ser Rectángulos Auricos, es decir, rectángulos donde al dividir el lado mayor por el lado menor se obtiene el Número de Oro.

Este rectángulo tiene la propiedad de crecer indefinidamente hacia adentro o hacia a fuera si se le agrega un módulo cuadrado. Disponiendo estos módulos cada 90º y trazando una curva que una los vértices, surge también una espiral logarítmica muy semejante a la espiral de la serie Fibonacci, y que encontramos en la forma y el crecimiento armónico de conchas marinas, piñas, flores, caracoles, entre otras formas.

La espiral logarítmica con su característica de crecimiento indefinido sin alterar su forma básica, es propia de toda pulsación en razón geométrica o sucesión continua de proporciones, la encontramos en numerosos fenómenos de la naturaleza como huracanes, en el movimiento de la agua y del viento, en la geometría de las galaxias, y a ha sido en diferentes civilizaciones un símbolo de la evolución del alma y el desarrollo espiritual.

Pentágono y Decágono

Un Polígono, es una entidad formada por un conjunto de puntos situados en el mismo plano, de tal manera que ninguna recta pase por más de dos de ellos. Todas las rectas unen los puntos de dos en dos cerrando la figura. Los polígonos cuyos ángulos en el vértice y lados son iguales, son llamados polígonos regulares y son inscriptibles en la circunferencia. Gauss demostró que por la regla y el compás se pueden construir infinitos polígonos regulares, aunque no todos los números lo permiten, como ocurre con los polígonos de 7,9,11,13,14,18... lados.

El Pentágono (polígono de cinco lados) y el Decágono (polígono de diez lados), se encuentran a menudo en los trazados arquitectónicos y artísticos de la antigüedad. Ambas figuras se construyen geométricamente usando la sección Áurica. De manera que Macrocosmos y Microcosmos están regidos por una misma clave numérica. Y, es que si dividimos una de las líneas de la estrella de cinco puntas por el lado del pentágono regular, resulta el Número de Oro. Así mismo, el radio de la circunferencia que inscribe un decágono, dividido por uno de los lados del decágono regular es igual a F. Y al tiempo, el lado del decágono estrellado dividido por el radio da el mismo resultado.

Una estrella de cinco puntas encierra un pentágono en su centro en una progresión infinita donde gobierna el Número de Oro, así como en las relaciones entre pentágonos y decágonos, regulares y estrellados, y sus circunferencias inscritas o circunscritas, tanto aritméticamente como geométricamente. Y es que la asimetría pentagonal introduce una dinámica y un crecimiento

en proporción geométrica continua, en la que se halla la huella esquemática de una espiral logarítmica, como curva ideal del crecimiento homotético o de razón constante, en los seres vivos, especialmente aquellos cuya vida implica crecimiento y movimiento, más no aglutinamiento y equilibrio como ocurre en reino mineral donde predomina una geometría simétrica y estática.

Sólidos Regulares

Al pasar del plano al espacio, las figuras geométricas sólidas o de tres dimensiones reciben el nombre de Poliedros, es decir, un cuerpo conformado por múltiples planos o caras. Así como en las dos dimensiones, los Polígonos Regulares inscriptibles en el círculo, pueden ser en un número infinito, en el espacio los cuerpos de caras iguales, con aristas iguales y ángulos iguales en sus vértices (lo que significa que pueden inscribirse perfectamente en una esfera), solo pueden ser cinco. A estos se les llama Poliedros Regulares.

La causa para que solo puedan haber cinco cuerpos de estas características, es que en cada vértice, donde confluyen las aristas, la suma de los ángulos planos debe ser inferior a 360º. Y para conformar un vértice debe haber como mínimo tres caras. Esto excluye la posibilidad de poliedros regulares con caras hexagonales, ya que tres caras conformarían un vértice igual a 360º. De esta manera quedan excluidos también todos los polígonos que tengan más de seis lados. Solo quedan como posibles vértices para un poliedro regular aquellos que tienen 3, 4 y 5 Triángulos Equiláteros, 3 Cuadrados y 3 Pentágonos. Euler estableció una fórmula para el cálculo de aristas, caras y vértices en un Poliedro: Vértices + Caras = Aristas + 2

Esta fórmula también se aplica a poliedros semirregulares y a los irregulares, que son los que están compuestos por combinación de dos o más polígonos diferentes.

Los cinco sólidos regulares han recibido también el nombre de “Cuerpos Pitagóricos” o “Platónicos”, ya que ambos Maestros les daban gran importancia dentro de sus enseñanzas, aunque como se ha descubierto, estás figuras eran ya conocidas en épocas y culturas anteriores. Precisamente Platón en el Timeo, describe su forma y la relación que tienen con los Elementos de la Naturaleza y de los cuales está compuesto toda la creación. Relaciona de esta manera el Cubo o Hexaedro con el elemento Tierra, el Icosaedro con el Agua, el Octaedro con el Aire, el Tetraedro con el Fuego y para un Quinto elemento del que solo dice que de él se sirvió el Dios para el trazado del Universo, estaría el Dodecaedro. Platón describe en el diálogo la construcción de estos cuerpos a partir de un triángulo, como figura plana irreducible e indivisible. Todos los cuerpos poseen profundidad, tienen volumen y todo lo que tiene volumen tiene también superficie. A su vez, toda superficie situada sobre un plano puede ser dividida en triángulos, un ejemplo de ello lo constituyen los tejidos de nuestra piel, donde al observar con atención, vemos en su superficie unas líneas que se entrecruzan formando triángulos. Todos los triángulos posibles pueden ser seccionados hasta reducirlos a dos tipos: el Triángulo Rectángulo Isósceles (un ángulo recto y dos lados iguales) y el Triángulo Rectángulo Escaleno (Un ángulo recto y todos los lados desiguales).

Ya que el Agua, el Aire y el Fuego están compuestos por el mismo tipo de triángulo rectángulo escaleno, es posible que cada uno de estos elementos se convierta en el otro. Esto vale para Aire, Fuego, Agua y sus respectivos poliedros, pero no para el Cubo, ya que los triángulos rectángulos isósceles que lo componen no pueden formar ninguno de los otros tres poliedros. Para el Cubo o Hexaedro, el Demiurgo emplea el otro triángulo, que tiene como característica un ángulo recto y dos lados iguales con ángulos de 45º. Luego con cuatro de estos triángulos, uniéndolos por el vértice que tiene el ángulo recto, conforma una cara cuadrada. De manera que el Hexaedro está compuesto por 24 triángulos Isósceles.

Otra característica importante de estos cuerpos, es que mientras en el plano los polígonos son independientes entre sí tanto geométrica como algebraicamente, los cinco sólidos tienen entre sí intimas relaciones estructurales. Por ejemplo el Octaedro y el Hexaedro son recíprocos, lo que significa que se puede construir uno a partir del otro, tomando los centros de las caras de uno para ubicar los vértices del otro o haciendo pasar por los vértices planos tangentes. Esa misma relación de reciprocidad existe entre el Icosaedro y el Dodecaedro. El Tetraedro es auto recíproco, al unir los centros de sus caras surge otro tetraedro menor.

Existen otras relaciones y formas de pasar de un cuerpo regular a otro. Por ejemplo, cuatro de los ocho vértices de un cubo, serían los vértices de un tetraedro, cuyas aristas son diagonales de las caras del cubo. Es decir: Arista del Tetraedro / Arista del Hexaedro = v2.

Los puntos medios de las aristas de un Tetraedro, son los vértices de un Octaedro. De manera que están en relación: Arista del Tetraedro / Arista del Octaedro = v4 = 2

Las doce aristas del Cubo son diagonales de los doce pentágonos que conforman el Dodecaedro.

Lo cual significa: Arista del Hexaedro / Arista del Dodecaedro= .

Las relaciones más directas son descritas por Paccioli en su tratado “De la Divina Proporción”. Pero surgen muchas más relaciones geométricas sorprendentes, ya que algebraicamente predominan los números irracionales y en especial los múltiplos de la Sección Áurea, sobretodo al tratarse del Dodecaedro y el Icosaedro. Por que, como indica Matila Ghyka, estos dos cuerpos son la ampliación en el espacio del Pentágono y el Decágono, razón por la cual encontramos al Número de oro en las proporciones lineales, planas o sólidas del interior de estos dos cuerpos, así como las proporciones que enlazan al uno con el otro, inscritos en una misma esfera. “Todo trazado, toda proyección que represente estos cuerpos, aislados o combinados, requerirá la partición inicial de un segmento según la Sección Áurea.”

(M. Ghyka. El Número de Oro. Pag. 47.)

En las proyecciones planas del Icosaedro y el Dodecaedro, aparecen relaciones entre el Pentágono y el Decágono, como sombras en las dos dimensiones de los cuerpos tridimensionales. Además de los cinco sólidos convexos existen también poliedros estrellados, derivados del Dodecaedro y del Icosaedro, dos de ellos clasificados por Kepler, surgen de la prolongación de las aristas del Icosaedro y el Dodecaedro. En sus dimensiones aparece continuamente la Sección Áurea y constituyen en el espacio un desarrollo de la estrella de Cinco puntas o Pentagrama. Ambos son estrellas dodecaedrales, ya que pueden obtenerse por la combinación y el ajuste en el espaciode doce pentagramas regulares.

Volviendo a las enseñanzas de los antiguos sabios, y más en concreto de Pitágoras y Platón: De las Ideas provienen los Números; de los Números, las formas Geométricas, y de la Geometría toda la creación. Por lo tanto es necesario ahora ver de que manera esas Leyes Matemáticas se expresanen la naturaleza, en los diferentes organismos minerales, vegetales, animales y en el mismo ser humano. Para luego comprobar también su presencia en las diferentes formas de expresión artística, especialmente de la antigüedad clásica donde existía un vínculo y una finalidad en la vida del hombre y eso se reflejaba en los diferentes aspectos de su vida.

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