Ciencia — 31 de mayo de 2020 at 22:00

La teoría matemática de colas

Quizás a algunos de nuestros lectores les haya sorprendido el título de este artículo y haya pensado: «Ya están los matemáticos queriendo tomar protagonismo en cualquier asunto». Y algún otro pensará que esas colas que todos nos vemos obligados a mantener durante el confinamiento para acceder a cualquier comercio me han trastornado la cabeza.

En nuestra mente se asocia el concepto de «cola» con el de la línea que formamos en la caja de un supermercado o durante la espera de un transporte público (autobús, tren, avión, etc.). Pero uno de los objetivos de este pequeño artículo es agrandar la capacidad de reflexión de las situaciones cotidianas que normalmente nos pasan desapercibidas y mostrar cómo las colas intervienen en muchísimos aspectos de nuestra vida diaria. Y, por otra parte, quiero apuntar la gran complejidad de esta teoría, que os confieso que yo tampoco termino de comprender.

El primer matemático que se preocupó del estudio de las colas fue el danés Agner Krarup Erlang, que, en 1909, estudió el dimensionamiento de las centrales telefónicas para atender óptimamente el servicio de llamadas, que por entonces se conmutaba manualmente por medio de operadores, las famosas telefonistas que algunos de nosotros o nuestros padres conocieron.

Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad del servicio ofrecido. La teoría de colas estudia el ritmo de entrada de los clientes y el tiempo de servicio con cada cliente, y tiene como objetivo equilibrar los costes de capacidad del servicio y el «coste» de una espera larga.

En algunos casos sencillos, por ejemplo al realizar el pago en un supermercado o en un peaje de la autopista, podríamos decir que se evitarían las colas si hubiera un elevado número de cajas disponibles. En el caso de un servicio de atención telefónica, si hubiera «infinitos» operadores esperando nuestras llamadas para atender nuestras consultas. Pero, obviamente, los costes de atención superarían aquellos que el cliente estaría dispuesto a pagar: si cada vez que voy al supermercado hay veinte empleados con una caja abierta en espera de un cliente, de alguna forma ese coste repercutiría en los gastos de gestión del supermercado; o si voy a un bar o restaurante y hubiera veinte camareros disponibles para atenderme, más otros veinte cocineros preparados para atender mi petición.

La afirmación anterior no siempre es cierta, como en el caso de la conducción en carretera si hay demasiados carriles disponibles, pues los automovilistas cambiarían demasiado de carril, enlenteciendo el flujo de una caravana. Este efecto se conoce como la paradoja de Braess, matemático alemán también del siglo XX.

La teoría de colas es una de las ramas de la llamada «investigación operativa», que con métodos analíticos ayuda a la toma de decisiones. La investigación de operaciones se engloba dentro de las matemáticas aplicadas, que es algo de lo que presumimos los matemáticos para mostrar a la sociedad cómo ayudamos a resolver problemas y que las llamadas ciencias exactas no son solo puras abstracciones difíciles de entender.

La «matematización» del estudio de colas es un proceso complejo, en el que se tiene en cuenta la distribución de llegada de los clientes, el tiempo de espera, si los clientes por impaciencia pueden cambiar de cola o abandonarla, el orden de atención a los clientes, el tiempo de atención y la forma de salida de la cola.

En la teoría de colas intervienen conceptos de teoría de la probabilidad y de la estadística. En particular, las llamadas cadenas de Markov, de nuevo otro matemático. Son procesos estocásticos que se comportan de forma que la probabilidad de que ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior, o como se suele decir, no guardan memoria del pasado: la probabilidad de que algo ocurra depende solo del estado actual, no de lo que ocurrió en el pasado. El más típico ejemplo es el lanzamiento de una moneda: si acaba de salir seis veces seguidas una «cara», la probabilidad de que en la próxima tirada aparezca una «cruz» es la misma que antes: un 50%.

Otros sistemas de colas son más complicados, por ejemplo el embarque y desembarque de un avión, que cuenta solo con una o dos puertas.

Para saber más, siempre son recomendables los vídeos de Eduardo Sáenz de Cabezón: https://www.youtube.com/watch?v=VPuRoEOVogo . Allí puedes aprender si sirve de algo cambiarse de cola cuando estás en el supermercado.