Ciencia — 1 de marzo de 2025 at 00:00

La belleza de las matemáticas

Existe una profunda relación entre matemáticas y belleza. Es el sentido de la belleza lo que, en muchos casos, guía al matemático que trata de comprender un teorema o buscar un patrón numérico. La belleza matemática y la elegancia geométrica constituyen un auténtico sentido de lo bello que, sin duda, todo matemático conoce. Sin embargo, esta belleza es tan real como difícil de apreciar.

En las páginas que siguen haremos un recorrido por algunos de los elementos esenciales de las matemáticas, para mostrar que las matemáticas son bellas, y de qué forma podemos apreciar su belleza.

¿Qué es la belleza?

Es necesario responder bien a esta pregunta para entender la relación entre belleza y matemáticas. Empezamos mirando el diccionario de la RAE, que dice: «Propiedad de las cosas que nos hace amarlas, infundiendo en nosotros deleite espiritual». Es una buena aproximación a la idea de belleza, aunque queda por precisar qué es el deleite espiritual, y, por otra parte, debería hablarse también del deleite de los sentidos. «Lo bello consiste en la debida proporción, porque los sentidos se deleitan con las cosas bien proporcionadas», afirmaba Tomás de Aquino (1224-1274) en la Summa Teológica.

Citando a Plotino (205-270 d. C.), podemos decir que la belleza es la luz que irradia desde el Sumo Bien, y que atraviesa el espeso muro de carne y materia. Cuando un cuerpo nos parece bello es porque transmite bien la belleza, pero él no es la belleza.

Para Platón (427-347 a. C.), la belleza se manifiesta en la proporción y la medida. Aristóteles (384-322 a. C.) afirma que el orden, la simetría y la precisión son las formas que mejor expresan la belleza. Y de todo esto se ocupan especialmente las matemáticas.

¿Qué son las matemáticas?

Miramos nuevamente el diccionario: «Ciencia que trata de la cantidad». Y distingue las matemáticas aplicadas: «Estudio de la cantidad considerada en relación con ciertos fenómenos físicos», y matemáticas puras: «Estudio de la cantidad considerada en abstracto».

Son definiciones correctas, por supuesto, pero limitadas o reducidas, como veremos. Es generalmente admitido que dentro de las matemáticas se incluyen, principalmente, la geometría, el álgebra, el cálculo, la estadística, la topología y la trigonometría. Pero suele olvidarse el aspecto trascendente de las matemáticas que desarrolló la escuela pitagórica (siglo VI a. C.).

Las matemáticas son ideas, abstracción, pensamiento en estado puro. Son un lenguaje que no describe sentimientos, pasiones o hechos; se ciñe a una realidad mental abstracta. Se aplican prácticamente a todo lo que nos rodea; sin embargo, y eso forma parte de su belleza, son inmateriales. No se ven, no se tocan, pasan por nuestra imaginación, y en muchos casos se relacionan con algo que sí se puede ver y tocar, pero no son ellas, son su aplicación práctica. Las matemáticas son la base para todas las demás ciencias, no hay ciencia ni arte que pueda prescindir de ellas; sin embargo, ellas no necesitan a ninguna, solo necesitan la mente, nuestra inteligencia.

¿Dónde se encuentra la belleza en las matemáticas?

El filósofo Bertrand Russell dijo que «las matemáticas no solo poseen la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin atractivo para la parte más débil de nuestra naturaleza». De la misma forma que la belleza del Partenón, por ejemplo, hay que buscarla en la armonía de los elementos arquitectónicos que lo componen, la belleza de los razonamientos matemáticos hay que buscarla en la combinación armónica de las distintas ideas matemáticas que los componen.

El valor estético de una idea matemática

Hay dos cualidades fundamentales que confieren valor estético a una idea matemática. Son la generalidad y la profundidad. El matemático Godfrey Harold Hardy (1877-1947) afirmaba que un teorema matemático debe poder ser empleado en demostraciones de otros teoremas, debe ser punto de referencia para otros teoremas; es decir, debe tener esa característica de generalidad. Y en cuanto a la profundidad, una idea matemática debe ser capaz de atravesar diferentes estratos matemáticos, y vincularlos entre sí de una manera luminosa y fructífera.

Hardy añadió otras tres propiedades capaces de dotar a una idea matemática de valor estético. Las llamó calidad de lo inesperado, calidad de lo inevitable, y calidad de economía. Y lo explicó del siguiente modo: «Los razonamientos toman una forma singular y sorprendente (calidad de lo inesperado), los medios empleados parecen ser simples si tomamos en consideración el enorme alcance de los resultados (calidad de economía), pero no hay forma alguna de eludir las conclusiones (calidad de lo inevitable)». En cierta forma, estas tres calidades de Hardy están emparentadas con lo que el matemático Gian Carlo Rota (1932-1999) llamó «capacidad iluminadora de una idea». La capacidad iluminadora de una idea matemática, que arroja luz sobre los problemas, que los relaciona, aclara o resuelve, ha sido reconocida y admirada a lo largo de la historia por científicos, ingenieros y arquitectos.

¿Por qué es difícil apreciar la belleza de las matemáticas?

Ya sabemos que la belleza de un razonamiento matemático reside en la conjunción armónica de las ideas que lo componen, pero para la mayoría de la gente es más difícil apreciar la belleza de un teorema que la belleza del Partenón o la belleza de una catedral gótica. ¿Por qué esto es así? La belleza de las matemáticas no podemos apreciarla con ninguno de los cinco sentidos. La Capilla Sixtina de Miguel Ángel la vemos con los ojos, podemos ver su composición, los colores, las luces y sombras, etc. La Quinta sinfonía de Beethoven la escuchamos con los oídos, y podemos con ellos apreciar el ritmo, la armonía, los diferentes instrumentos musicales, etc. En la gastronomía interviene el sentido del gusto para apreciar la combinación armónica de los cuatro sabores, aunque en este caso intervienen prácticamente los cinco sentidos.

El caso de la literatura es más cercano a lo que ocurre con las matemáticas. Aquí ya no intervienen los sentidos, sino que se trata de una labor del pensamiento; podríamos decir que la literatura no se percibe sensorialmente, sino que tiene un valor estético apreciado mediante la razón. Y con las matemáticas ocurre algo parecido, tienen valor estético, pero no es perceptible por los sentidos; lo importante reside en su contenido y en lo que significa, y para poder apreciarlo hay que utilizar la inteligencia; más aún, debemos activar nuestra intuición. El esfuerzo intelectual requerido es quizás el primer gran obstáculo para apreciar la belleza de las matemáticas, aunque posiblemente, a mayor esfuerzo intelectual mayor brillantez, profundidad y genialidad de una idea matemática.

El atractivo de las matemáticas

Las matemáticas tienen un atractivo que procede de su diseño: parecen perfectas. Todo termina cuadrando, encajando maravillosamente, y esto nos fascina, nos atrae y nos deslumbra, de la misma forma que nos deslumbra la belleza de la Capilla Sixtina o del Partenón. Todo es estético y coherente.

Un rasgo de la belleza de las matemáticas es su sencillez. Esta afirmación puede causar sorpresa, pero es razonablemente cierta. Realmente hay muy pocas cosas difíciles, simplemente hay cosas que no conocemos, aunque sean complejas, y la causa del posible rechazo a las matemáticas no está en ellas, sino en nosotros: el ser humano sí que es complicado. En los asuntos humanos resulta muy difícil a veces encontrar fórmulas para solucionar conflictos o problemas; en cambio, las matemáticas nos ofrecen un mundo paralelo estable, seguro, sólido, en el que podemos movernos con absoluta libertad.

Las matemáticas ejercen un atractivo especial, hasta tal punto que, como afirma el matemático japonés Masahiko Fujiwara (1943, Shinkyo Manchukuo), ninguno de los matemáticos que han dedicado su vida a las matemáticas lo han hecho motivados por algún tipo de ganancia material, sino más bien por la enorme belleza que encierran. Y sigue afirmando el Sr. Fujiwara que la conciencia de lo bello, la sensibilidad estética, sea tal vez lo más importante para un matemático. Por ello las matemáticas pueden considerarse una ciencia, pero no están muy alejadas del arte. Una fórmula puede expresar en una sola línea toda la extraordinaria belleza de un asunto matemático, de la misma forma que un haiku puede expresar con un mínimo de palabras algo poético. La fórmula matemática y el haiku pueden expresar de forma abstracta la esencia de algo bello.

La belleza como camino de conocimiento

Tradicionalmente se habla de cuatro principales caminos para alcanzar el conocimiento: política, ciencia, religión y arte, en relación con la justicia, la verdad, la bondad y la belleza, respectivamente. Esos cuatro caminos o arquetipos son inseparables, van unidos, pues no puede haber belleza sin bondad, no puede haber bondad sin justicia, no puede haber belleza sin verdad, y así todas las demás combinaciones de los cuatro arquetipos. También se puede decir, por ejemplo, que, si algo es desproporcionado, no es bello, ni justo, ni bueno, ni verdadero.

Estamos hablando, por tanto, de la belleza como un camino de conocimiento. En términos matemáticos, la belleza sería el camino de regreso a la Unidad de donde todo procede, representada con el número uno, sobre la base de la proporción, el orden y la armonía.

Matemáticas es una palabra de origen griego, derivada de μάθημα, máthēma, que significa ‘conocimiento’, ‘ciencia’, ‘arte’, y también ‘cosa aprendida’, ‘lección’, ‘enseñanza’. Y en la antigua Grecia, la interpretación que hace Pitágoras de las matemáticas es trascendente, no es simplemente cálculo, ni estudio de la cantidad. De ahí que, para los pitagóricos, tanto la belleza como las matemáticas son un verdadero camino de conocimiento.

Los números puros

Tanto para Platón como para Pitágoras, el proceso de gestación del universo es un impulso guiado por una Inteligencia Cósmica que desciende desde el plano de las Ideas Puras hasta los cuerpos materiales: Ideas / Números / Figuras / Formas / Cuerpos.

De tal forma que los números puros representan ideas, se expresan en figuras y formas geométricas y, finalmente, dan lugar a todos los cuerpos.

Pero estos números que podemos llamar puros, o divinos, no son números de cálculo, no son cuantificables, son intangibles, son símbolos, expresión de Ideas puras. Son el lenguaje con el que Dios ha escrito el universo, como decía Galileo Galilei (1564-1642). Y conforman lo que en esoterismo se llama matemática dinámica, o matemática viva, por contraposición a la matemática estática, la que tiene aplicaciones prácticas y es utilizada para realizar cálculos.

En primer lugar, en el origen, en el principio, está el Cero, número de carácter mágico y sagrado que ya era conocido en la Antigüedad. El cero es emblema mental del Todo-Nada. Se representa geométricamente con la circunferencia y un punto en su centro.

* La primera manifestación abstracta del cero es el Uno. Uno no significa que solo hay una cosa, sino que todo es Uno, el Uno es un Todo; estamos hablando de la Unidad, y si la Unidad es tal, no hay divisiones, no hay partes separadas. En Doctrina Secreta se le llama el Uno sin Segundo. Y cuando se habla del universo significa convertido en Uno, o que es Uno, que también equivale al término griego cosmos, que significa ‘ordenado y armónico’.

* Después del Uno aparece el Dos, la díada, la dualidad, que van a ser los contrarios, como el yin y el yang, y la forma en que funciona nuestra mente; nosotros comprendemos lo que es grande por lo que es pequeño, lo que es frío por lo que es caliente, siempre hacemos la comparación entre opuestos. Cuando aparece el dos, aparece la manifestación y aparece el conflicto.

* Después aparece el Tres, la tríada, que representa la superación del conflicto. La armonía por oposición. El tres relaciona a los contrarios y les permite armonizarse. Y el tres va a ser el número que permita construir la primera forma geométrica, el triángulo.

* Después aparece el Cuatro, la tétrada, el cuaternario, y con él se relaciona también la Tetraktys, que es el diez, la suma de uno, dos, tres y cuatro, 1+2+3+4=10. La Tetraktys es el número perfecto, la divina década de los pitagóricos.

Estrictamente hablando, estos diez números de la Tetraktys son los auténticos números, los números puros. Lo que hoy llamamos números, esos que sirven para contar y el estudio de las cantidades, serían simplemente cifras, números de cálculo, o números vulgares, que se forman por las diferentes uniones de esos diez primeros números.

* El Cinco, o péntada, era casi tan importante para los pitagóricos como la década. La péntada es el número de la armonía en la salud, y de la belleza encarnada en el cuerpo humano. El emblema geométrico de la péntada es el pentagrama o pentáculo, estrella de cinco puntas que, como sabemos, era el símbolo de la escuela pitagórica. En los antiguos misterios, esta estrella representaba al microcosmos, al hombre.

* El Seis, o héxada, representa la estabilidad y el equilibrio. Vitrubio (80-15 a. C.) lo señala como número perfecto.

* El Siete, héptada, tiene importancia como número sagrado. Para los pitagóricos era el emblema de la virginidad. Como suma de 4 y 3, es el signo del hombre completo, del mundo completo, de la creación terminada y del crecimiento de la naturaleza.

* El Ocho, octóada, se refleja en dos cuadrados superpuestos. Simboliza el equilibrio cósmico.

* El Nueve, enéada, se refleja en tres triángulos entrelazados. Cada mundo está simbolizado por un triángulo: El cielo, la tierra, los infiernos. Nueve es la totalidad de los tres mundos. Representa el final de un ciclo.

* El Diez, década, es el número de la perfección; representa el comienzo de un nuevo ciclo.

La noción de números puros introducida por Pitágoras y recogida después por Platón supone una visión trascendente de las matemáticas, de manera que ya no se plantea la cuestión de si hay belleza en las matemáticas, sino que la Belleza misma, como arquetipo, proviene de esas matemáticas trascendentes, a través de la armonía y la proporción. De esta concepción trascendente de las matemáticas provienen las afirmaciones de los clásicos: «Todo está dispuesto según el Número, el peso y la medida», o «los Números son el más alto grado de conocimiento».

Los sólidos platónicos

A partir del triángulo se construyen los cinco poliedros regulares, que son poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí, y cuyos vértices son iguales. Son también llamados sólidos platónicos porque los describe Platón en el Timeo; representan la estructura íntima de la materia y la perfección de las formas.

El tetraedro, de cuatro caras triangulares, se asocia al elemento fuego.

El hexaedro o cubo, de seis caras cuadradas, se asocia al elemento tierra.

El octaedro, de ocho caras triangulares, se asocia al aire.

El icosaedro, de veinte caras triangulares, se asocia al agua.

Y el dodecaedro, de 12 caras pentagonales; Platón en el Timeo lo relaciona con el Universo, el Todo, aunque en otra clave interpretativa puede asociarse al quinto elemento, el éter.

Los sólidos platónicos tienen los tres tipos de simetría que existen en el espacio: Respecto a un punto, respecto a un eje y respecto a un plano. Simetría puntual, simetría axial y simetría de plano.

Y, por supuesto, en ellos se cumple la fórmula de Leonhard Euler (1707-1783) para los poliedros convexos: C + V = A + 2, es decir, caras más vértices igual a aristas más dos. Puede comprobarse fácilmente esta fórmula proyectando los poliedros sobre el plano.

El cubo, el tetraedro y el octaedro aparecen de forma natural en las estructuras de los cristales; de hecho, todas las posibles configuraciones cristalinas están formadas sobre la base de diferentes combinaciones de estos tres poliedros. También hay seres vivos con esta forma; por ejemplo, algún tipo de protozoo, los radiolarios, tienen forma de cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro… También algunos virus tienen forma de icosaedro.

El número de oro

El número de oro, Φ, Fi, o Phi, llamado así en honor al más famoso de los escultores de la antigua Grecia, Fidias (siglo VI a. C.), también llamado razón áurea y divina proporción, es el número más asociado a la belleza, que además aparece con una extraordinaria frecuencia, tanto en matemáticas como en la naturaleza y en el arte.

Euclides, en sus Elementos, lo describe así: «Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor».

Dicho de otra forma: lo pequeño es a lo grande, como lo grande es al todo. O también, el todo es a la parte como la parte es al resto. Si tomamos un segmento partido en dos partes desiguales, a y b, la división de la longitud total (a+b) por su parte mayor (a) es igual a la división de la parte mayor (a) por la parte menor (b), y el resultado obtenido es un mismo número, el número áureo, Φ=1,6180339887…, con una sucesión infinita de decimales.

Se expresa con la siguiente fórmula:

Su gran presencia en el arte y en la naturaleza denota que encierra un canon de belleza innegable, que le ha dado el apelativo de áureo. Y divino, puesto que al igual que la divinidad, es inconmensurable y omnipresente.

El Partenón, atribuido a Fidias, está construido con proporción áurea. Leonardo da Vinci aplicaba la proporción áurea en sus cuadros. Muchas de las catedrales góticas también se construyeron basándose en el número de oro. Y hay muchos ejemplos más. Incluso en la actualidad podemos ver la proporción áurea en las tarjetas de crédito, en el ratón de ordenador, etc. En fotografía, es común dividir una imagen en dos partes iguales, de manera que una parte sea un poco más grande que la otra, aproximándose a la proporción áurea. La conocida regla de los dos tercios viene a ser una simplificación de la proporción áurea. Y en la naturaleza también encontramos el número de oro en muchos casos. Por ejemplo, en todo tipo de caracoles, en la estrella de mar, en la forma espiralada de las galaxias, en algunas flores, etc.

También lo vemos en el cuerpo humano, como bien reflejó Leonardo da Vinci en el archiconocido «hombre de Vitrubio». O en cada parte del cuerpo, por ejemplo, la cabeza. El antebrazo (lado largo) y la mano (lado corto) son un buen ejemplo de la proporción áurea. La figura geométrica más sencilla que se puede construir manteniendo la proporción áurea es un rectángulo. Un rectángulo áureo es aquel en el que dividiendo el lado mayor por el lado menor da como resultado el número áureo. Todo rectángulo áureo puede dividirse en un cuadrado y un nuevo rectángulo áureo, que a su vez puede volver a dividirse, y así sucesivamente, obteniendo cada vez rectángulos más pequeños que convergen en un punto al que suele llamarse el «ojo de Dios».

Si empezamos por este ojo de Dios y unimos todos los vértices del diagrama obtenido, tendremos una espiral, a la que se denomina «espiral de Durero» debido a la obra de Alberto Durero (1471-1528) titulada «Instrucción sobre la medida con regla y compás de figuras planas y sólidas», en la que pretende enseñar a pintores, matemáticos y artistas diversos métodos para trazar figuras geométricas.

Como era de esperar, encontramos también el número de oro en el símbolo por excelencia de los pitagóricos, la pentalfa o estrella de cinco puntas. Una referencia innegable del Renacimiento es Luca Pacioli, y su libro La divina proportione (1509), con ilustraciones de su amigo Leonardo da Vinci, una obra que sirvió de inspiración a todos los artistas posteriores. En el siglo XIX, el psicólogo alemán Gustav Fechner realizó un experimento en que se mostraba a una serie de personas distintos rectángulos, cada uno con diferentes proporciones, y les pedía que escogieran el que les resultaba más atractivo. La mayoría escogieron el rectángulo cuyos lados guardaban la proporción áurea. Una página web exhaustiva sobre el tema es https://matematicasiesoja.wordpress.com/el-rectangulo-maravilloso/

La sucesión de Fibonacci

Directamente relacionada con el número de oro se encuentra la llamada sucesión de Fibonacci. Se llamaba Fibonacci a Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII, que era hijo de Guilielmo Bonacci, figlio di Bonacci, de ahí Fibonacci. La secuencia es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377… (hasta el infinito). Cada número se obtiene sumando los dos anteriores (1+1=2; 2+1=3; 3+2=5; 5+3=8, etc.) y si observamos la razón (o relación) que existe entre cada par de números consecutivos, sorpresivamente aparece el número de oro.

1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,6666…; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,6153; 34/21 = 1,6190; 55/34 = 1,6176; 89/55 = 1,61818; 144/89 = 1,6179; 233/144 = 1,6180…

A medida que avanzamos en la serie, nos vamos acercando más y más al número de oro. Los valores de la relación de números consecutivos de la serie de Fibonacci se acercan rápidamente al número de oro, pero dado que el número de decimales es infinito, el encuentro definitivo solo se producirá en el infinito (que alguien me explique cómo y cuándo). Esto lo podemos representar gráficamente con un rectángulo, donde se aprecia que el rectángulo de Fibonacci tiende a coincidir con el rectángulo áureo, de forma que enseguida parecerán idénticos.

La sucesión de Fibonacci la encontramos también en la naturaleza. Por ejemplo, en la distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas; en el número de espirales en muchas flores y frutas: Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o a veces 21 y 34. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. El número de espirales (8 y 13) en cada uno de los dos sentidos de giro de la piña son términos contiguos de la sucesión de Fibonacci.

Visualizar un teorema

En la puerta de entrada de la Academia de Platón se decía: «No entre aquí quien no sepa geometría». Es decir, que la geometría era muy tenida en cuenta para poder acceder al conocimiento. Pitágoras hablaba de los números en términos geométricos, pues los números se concretan en formas geométricas, líneas, puntos, planos, figuras geométricas y sólidos, con tres dimensiones. Por eso, el famoso teorema de Pitágoras (que, por cierto, no es de Pitágoras, pues los egipcios ya lo conocían antes que él) se representaba geométricamente, no con la fórmula c = a+b.

Este teorema nos pone en relación con los llamados números irracionales. Si a los catetos le damos el valor de uno, la hipotenusa es la raíz cuadrada de dos, √2, y eso da un número con infinitos decimales, que siguen para siempre sin secuencia definida, un número que no se puede escribir en fracción, o sea, irracional. Estos números infinitos nos dan la idea de que el universo es también infinito.

Música y matemáticas

«La música es un ejercicio de aritmética secreta y el que se entrega a él ignora que está manejando números» (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716). Los pitagóricos encontraban muy natural que los números, que rigen la armonía de un cosmos perfectamente ordenado, tuviesen una función similar en el arte, en general, y en la música en particular. Pitágoras relaciona los números, las matemáticas, con la aritmética, la geometría, la astronomía y la música, sentando las bases de lo que más tarde se llamará el cuadrivium, que, junto con el trivium (gramática, dialéctica y retórica), dio lugar a las llamadas siete artes liberales.

La música es matemáticas, está construida por la relación y las proporciones entre los diferentes sonidos. Por eso Pitágoras relaciona completamente las matemáticas con la música, pues la música son proporciones numéricas, y las relaciones entre números son notas musicales. A Pitágoras debemos la escala musical que se utiliza en la actualidad. La Tetraktys es el conjunto de los cuatro números cuyas relaciones representan los acordes musicales esenciales. El vínculo entre la Tetraktys pitagórica y la escala musical (escala o gama diatónica pitagórica) proviene del hecho de que una lira de cuatro cuerdas, cuyas longitudes eran proporcionales a 1, 2, 3 y 4, suministraba la octava (relación 2 a 1, 1/2) llamada «diapasón», los intervalos de quinta (relación 3 a 2, 2/3), llamada «diapente», y de cuarta (4 a 3, 3/4), llamado «diatessaron».

Todo empieza con una cuerda. Pensemos en una cuerda como las de la guitarra. Si pisamos en el centro de su longitud (proporción 2:1), creamos un intervalo de una octava, la distancia entre un do y el siguiente do, la distancia que cubre ocho notas de la escala. Si pisamos la cuerda en un punto situado en un tercio de su longitud, la proporción es 3:2, que corresponde a un intervalo de quinta, que es la distancia entre do y sol, es decir, un intervalo de cinco notas. Si pisamos a un cuarto del total (proporción 4:3), cubrimos un intervalo de cuarta, de cuatro notas, el intervalo do-fa. Estas cuatro relaciones son las fundamentales, el tono, la octava, la quinta y la cuarta, y en función de otras diferentes relaciones se establecen las restantes notas para completar las siete notas de la escala musical. Y a partir de ahí se establecen la tonalidad mayor, la tonalidad menor, los acordes, etc.

Existen varias versiones sobre el modo concreto como Pitágoras llegó a desentrañar las relaciones numéricas entre los sonidos consonantes, es decir, aquellos cuya producción simultánea origina una sensación agradable en nuestro oído. Nicómaco de Gerasa, Gaudencio y Boecio dicen que Pitágoras escuchó los diferentes sonidos producidos en el yunque de un herrero por martillos de diferentes pesos. Un martillo cuyo peso era como 6 producía el tono, otro con peso 12 producía la octava, otro con peso 9 la quinta y otro de peso 8 la cuarta. Pitágoras volvió a casa, colgó tales pesos de cuatro cuerdas iguales y observó que se producían los sonidos consonantes correspondientes.

Los compases también se indican numéricamente con fracciones; por ejemplo, el compás de un vals como el Danubio azul es 3/4, llamado también ternario; el compás 5/4 lo utilizó Lalo Schifrin para componer el tema de la banda sonora Misión imposible; el legendario tema Money, de Pink Floyd, tiene compás 7/4.

La música es matemática, y nos emocionamos con ella gracias a unas sencillas proporciones.

Los musicólogos debaten sobre las emociones que producen los diferentes tonos. Al respecto, algunos consideran que la tonalidad de re bemol mayor es majestuosa; la de do mayor es fuerte y viril; mi mayor transmite esplendor y alegría; fa mayor, paz, júbilo, luz; fa menor, melancolía; la menor, tristeza; si menor, sentimentalidad, etc. La Tetraktys pitagórica se relacionaba también con la armonía de las esferas, o música de las esferas, porque los planetas están en movimiento y producen vibraciones. Y ¿no estará todo el cosmos produciendo una sinfonía? En efecto. Pero de la misma manera que el blanco es la síntesis de todos los colores, que la luz blanca se descompone en los siete colores, el silencio es también la síntesis de todos los sonidos, y la música de las esferas es el silencio. El silencio es también la mayor posibilidad de curación, porque ese silencio es el sonido de todo el cosmos. Por eso, en la escuela pitagórica se daba mucha importancia al silencio, de forma que cuando alguien entraba en la escuela pitagórica tenía que guardar cinco años de silencio al principio, y se les llamaba acusmáticos; después, si continuaban, ya eran llamados matemáticos.

Las matemáticas ayudan a pensar

Bajamos ahora a cuestiones menos trascendentes, y vamos a ver también algunos aspectos más prosaicos de las matemáticas pero que también tienen belleza. Empezamos viendo un aspecto muy importante: las matemáticas son una potente herramienta para mejorar la capacidad de pensar y reflexionar. Cabe mencionar que, afortunadamente, siguen presentes en todos los planes de estudio de colegios e institutos de enseñanza, porque el trabajo matemático pone en juego distintas habilidades de razonamiento, como la deducción, la justificación, la generalización o la capacidad de abstracción; capacidad de abstracción que indudablemente forma parte del proceso evolutivo de cualquier ser inteligente.

Un ejemplo de cómo las matemáticas sirven para aprender a pensar es el llamado problema de Fermi, atribuido al matemático Enrico Fermi (1901-1954). La pregunta es: ¿cuántos afinadores de piano hay en Chicago? Y no hay más datos.

Fermi era conocido por su habilidad para hacer buenos cálculos a partir de datos escasos o nulos. Para responder a la pregunta, ¡primero hay que conseguir los datos! Y para ello se hacen estimaciones. Por ejemplo: hay nueve millones de personas viviendo en Chicago. En promedio, viven dos personas en cada casa de Chicago. Una de cada veinte casas tiene un piano que es afinado regularmente. Dichos pianos son afinados una vez por año. A un afinador de pianos le lleva dos horas afinar un piano, incluyendo el tiempo de viaje. Cada afinador trabaja ocho horas por día, cinco días a la semana y cincuenta semanas en un año.

A partir de estas estimaciones se puede determinar que el número de afinaciones de piano en un año en Chicago es: (9.000.000 personas) / (2 personas/casa) * (1 piano/20 casas) * (1 afinación por piano al año) = 225.000 afinaciones por año. Como cada afinador trabaja 50 * 5 * 8 = 2000 horas por año y cada afinación requiere 2 horas, cada afinador realiza 1000 afinaciones por año. Como se calcularon 225.000 afinaciones por año, resulta que en Chicago hay 225 afinadores. El resultado, evidentemente, puede ser erróneo, pero puede aproximarse a la realidad. Según la finalidad que se persiga, pueden establecerse una cota alta y una cota baja, o un porcentaje de error. Pero, en cualquier caso, ha sido necesario pensar en los datos que iban a ser necesarios y cómo conseguirlos para obtener algún resultado.

Números primos

Son los números enteros mayores que 1, divisibles solo por 1 y por sí mismos. Dicho de otra manera, toda cifra entera, es decir, que no tiene decimales, que no puede ser descompuesta en factores más pequeños, a excepción del 1 y de ellos mismos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41, 43, 47… La pregunta es: ¿por qué van apareciendo de forma aparentemente caprichosa, sin ningún patrón o regularidad conocida? Es un enigma. La razón de su atractivo es que todos los números enteros mayores que 1, o bien son primos, o bien son el producto de primos. Son primos gemelos cuando la diferencia entre ellos es 2; por ejemplo 3 y 5; 5 y 7; 11 y 13. Gracias a Euclides (siglo IV a. C.), existe certeza de que los números primos continúan hasta el infinito, pero no ocurre lo mismo con los primos gemelos.

La conjetura formulada por el matemático Christian Goldbach (1690-1764), la llamada «conjetura de Goldbach», afirma que cualquier número par distinto de 2 puede expresarse como la suma de dos números primos. Por ejemplo, el 8 es la suma de 3 y 5; el 24 es la suma de 11 y 13; 428 es la suma de 199 y 229, y puede comprobarse que es así para números mucho más altos (se puede comprobar en el siguiente enlace: https://www.docirs.cl/algoritmo_golbach.asp). Sin embargo, que algo funcione muchas veces no significa que vaya a hacerlo siempre, ni en matemáticas ni en la vida. Por ello, la conjetura de Goldbach es solo eso, una conjetura, que hasta el día de hoy no ha sido demostrada ni refutada.

Como curiosidad, el primo más grande encontrado por ahora, descubierto en octubre de 2024, es un número que tiene 41.024.320 dígitos, es decir, que no podría escribirse en ningún papel. Como no podía ser de otra manera, el cálculo fue realizado por varios miles de ordenadores funcionando simultáneamente. Y ¿por qué hay tanto interés en descubrir nuevos números primos? Pues porque tienen una gran utilidad para procesos de encriptación de todo tipo. Sabemos que todos los números mayores que uno, o son primos, o son el producto de dos números primos. Por ello, encontrar los factores que multiplicados dan un gigantesco número es una labor que no podríamos realizar ni en toda una vida. Dicho de otra manera, tendríamos que factorizar un gigantesco número para encontrar al menos uno de los dos números primos que forman parte de la multiplicación.

Números granizo

La conjetura de Lothar Collatz en 1937, es llamada «números granizo». Para producir una serie de números granizo tomamos cualquier número natural y le aplicamos sucesivamente las siguientes operaciones: si es par lo dividimos por 2; si es impar lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. Se va generando una secuencia de números aplicando el patrón n/2 o 3n+1 a cada número que va apareciendo en la serie. La sorpresa es que la secuencia numérica siempre acaba en el número 1, como si el 1 ejerciera una atracción semejante a la ley de gravedad, y el granizo terminase cayendo siempre hasta el 1. Por ejemplo, si tomamos el número 15, la serie de números granizo es: 15, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.

Esto sale de la siguiente manera: 15×3+1=46; 46/2= 23; 23×3+1=70; 70/2=35; 35×3+1=106; 106/2=53; 53×3+1=160; 160/2=80; 80/2=40; 40/2=20; 20/2=10; 10/2=5; 5×3+1=16; 16/2=8; 8/2=4; 4/2=2; 2/2=1.

Esta conjetura se cumple hasta números muy elevados, pero aún no ha sido demostrada.

«Números amigos»

Es la relación que existe entre dos números cuando la suma de los divisores de un número da como resultado otro número, y la suma de los divisores de este da como resultado al número anterior. Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos o amistosos. Los divisores de 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, y 110 suman 284; y los divisores de 284: 1, 2, 4, 71 y 142 suman 220. No hay muchos números entre los que se produzca esta relación de amistad.

«Números perfectos»

Son aquellos cuyos divisores, al sumarse, dan como resultado el mismo número. El número 6, el más pequeño de todos los números perfectos, es divisible por 1, 2 y 3, cuya suma da 6. El siguiente número perfecto es el 28, cuyos divisores son 1, 2, 4, 7 y 14, que sumados dan 28. El concepto de número perfecto es de gran belleza y no sabemos si hay infinitos números perfectos. Después del 28 siguen el 496, el 8128, el 333.550.336, el 8.589.869.056, y se conocen dos más. También se descubrió que los números perfectos pueden expresarse como la suma de una serie de números enteros consecutivos. Por ejemplo, el 28 es la suma de 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

Números imaginarios

Surgen en el siglo XVI a partir de la ecuación x+1=0. Para que la ecuación se cumpla debería existir algún número que multiplicado por sí mismo de como resultado -1, y eso es imposible, puesto que cualquier número elevado al cuadrado da como resultado un número positivo. Podemos afirmar que √1=1, pero √-1 no existe como número real. Para solucionar este problema idearon el número imaginario, por contraposición a los números reales, y lo identificaron con la letra «i». Decía el filósofo y matemático alemán Gottfried Leibniz: «Dios nos muestra esta sublime y milagrosa forma a medio camino entre la existencia y la no existencia… anfibio entre el ser y el no ser que llamamos raíz imaginaria de la unidad negativa».

El número «i» se representa como √-1. Se obtiene de la siguiente manera:

x+1=0

x=-1

x=√-1

Ya en el siglo XIX, el matemático y astrónomo Carl Friedrich Gauss (1777-1855), el de la famosa campana, llamado príncipe de las matemáticas, aceptó los números imaginarios, aportando la forma de visualizarlos gráficamente. René Descartes (1596-1650) representó los números reales mediante una recta, el cero en el centro, los números positivos hacia la derecha y los negativos hacia la izquierda. Gauss traza un eje vertical y perpendicular a la recta, formando un eje de coordenadas, y ahí sitúa los números imaginarios. Por ejemplo, en la figura vemos el número 5i y el número 3+5i. Cuando el número tiene una parte real y otra imaginaria, por ejemplo, 5i, o 9i, se llaman números complejos. Los números imaginarios descubiertos por los matemáticos han resultado ser de una gran importancia en el campo de las ciencias físicas.

Teoremas elegantes

Hay teoremas que son realmente elegantes. Por ejemplo, este: «Si sumamos números impares, empezando por el 1, el resultado de la suma será siempre un número que es potencia de 2 de otro, es decir, su cuadrado, sea cual sea la cantidad de números impares que sumemos». Por ejemplo, 1+3+5+7=16, que es 4. Si vamos sumando números impares, siempre vamos a obtener el cuadrado de otro número. Podemos ver este teorema expresado gráficamente.

Los ángulos internos del triángulo

Es muy bello que los ángulos internos de cualquier triángulo sumen siempre 180 grados. Es algo inquebrantable, seguro, eterno. Van a ser siempre 180, no 179 ni 181, y cuando el planeta Tierra haya desaparecido, los ángulos internos de cualquier tipo de triángulo seguirán sumando 180 grados, la mitad de 360, que son los grados de la circunferencia. Es algo seguro, a diferencia de muchas otras cosas cuya existencia y certeza depende de circunstancias exteriores, de tiempo y lugar. Y saber que la suma de los ángulos internos del triángulo son siempre 180 grados resulta ser, además de bello, muy práctico pues, aplicando la trigonometría, podemos llegar a saber incluso a qué distancia se halla una estrella.

La ecuación más bella

En 1988, la revista Mathematical Intelligencer realizó un concurso para determinar la ecuación más bella de la historia, y la gran ganadora fue la fórmula de Leonhard Euler:

¿Por qué es bella esta fórmula? Un motivo claro es que contiene los cinco números probablemente más importantes en matemáticas:

El número 0, que es el valor nulo.

El número 1, que representa la unidad.

Y las tres «superestrellas»:

* El número «i», que es √-1, y representa a los números imaginarios.

* El número p, irracional y trascendente. Equivale a 3,1415…

* Y el número «e», que es el número del crecimiento exponencial, no tan famoso como el número p, pero también irracional, trascendente y de igual importancia. Interviene en una gran cantidad de fórmulas relacionadas con la biología, la física, la economía y otras ramas de la ciencia. Es conocido como el número de Euler o constante de Napier, y equivale a 2,7182…

Además, la fórmula contiene las operaciones básicas de las matemáticas: suma, multiplicación y potencia. La función principal de esta fórmula es relacionar la trigonometría con el análisis matemático. Y, como curiosidad, aparece mencionada en numerosas ocasiones en la célebre novela de Yoko Ogawa: La fórmula preferida del profesor.

Cuadrados mágicos

En estos cuadrados, las sumas de los números de cada columna, de cada hilera y de las dos diagonales dan el mismo resultado. Una antigua leyenda china cuenta que un día un río estaba a punto de desbordarse. El pueblo, temeroso, intentó hacer una ofrenda al dios del río para calmar su ira. Cada vez que le hacían una ofrenda aparecía una tortuga que la despreciaba como si fuese insuficiente, hasta que un chico vio que el caparazón de la tortuga contenía números; sumaron todas sus filas, sus columnas y sus diagonales principales y siempre sumaban 15. Este era el número de ofrendas que pedía el dios del río, y así el río volvió a su cauce.

Algunos autores creen que el primer cuadrado mágico fue ideado por Fuh-Hola, el fundador de la civilización china (2858-2738 a. C.), pero lo cierto es que tanto egipcios como árabes, indios y griegos conocieron los cuadrados mágicos, y el elemento común a todas las civilizaciones es que eran considerados talismanes, a los que se atribuían propiedades místicas. El más famoso de los cuadrados mágicos conocido está asociado el arte, y es un cuadrado de orden 4 de 16 casillas que figura en el cuadro Melancolía, de Alberto Durero. Se puede comprobar que la suma da siempre como resultado 34. Los cuadrados mágicos tienen afinidad con la teoría de la simetría y la estética aplicada. El arquitecto neoyorquino Claude Bragdon se sirvió de las líneas mágicas ofrecidas por estos cuadrados para composiciones ornamentales variadas.

La geometría matemática de los alicatados

Los alicatados o mosaicos de la Alhambra de Granada son una de las cumbres del arte hispanomusulmán. Se trata de auténticos poemas matemático-geométricos, cuya estructura no se comprendió por completo hasta 1891, cuando el matemático ruso Yevgraf Fiódorov pudo demostrar que todos ellos se pueden clasificar en 17 tipos diferentes. Y lo más sorprendente es que esos 17 tipos coinciden exactamente con los 17 grupos cristalográficos planos, es decir, las 17 formas de simetría diferentes, 17 formas de teselar un plano. Una bella conjunción entre naturaleza, arte y matemáticas, que más tarde aprovecharía el neerlandés Maurits Cornelis Escher (1898-1972) para elaborar sus desconcertantes mosaicos a base de animales y otras figuras.

Las matemáticas como expresión artística

La obra de Escher constituye una buena muestra de la relación entre arte y matemáticas, utilizando diestramente la geometría para sus creaciones artísticas. Además de los mosaicos como el que vemos más arriba, elaboró las llamadas cintas de Moebius, que son diseños que se doblan, uniendo exterior e interior en una sola estructura. Estas superficies de una sola cara expresan la idea de infinito como un movimiento constante, sin principio ni fin. La obra de Escher expresa pura geometría y nos acerca a la belleza de las matemáticas de una forma directa.

La teselación más eficiente

Se entiende por teselación el recubrimiento del plano con piezas iguales sin dejar huecos ni sobreponer ninguna de ellas. Está demostrado que, de entre todos los polígonos convexos que teselan el plano, el hexágono es el de menor perímetro para un área dada. Por tanto, puede afirmarse que la teselación convexa hexagonal es la más eficiente posible, más que cualquiera no convexa y más que cualquiera que incluya algún lado curvo. El mismo argumento sirve para las baldosas: si se desea embaldosar un suelo, las baldosas hexagonales son las más indicadas.

En esto ya se había fijado Pappus de Alejandría (290-350 d. C.), quien conjeturó que la mejor forma de cubrir una superficie plana era mediante hexágonos. Y esta conjetura fue demostrada y convertida en teorema en 1999 por el matemático Thomas C. Hales (Texas, 1958). Por otra parte, seis círculos en forma hexagonal constituyen una sencilla síntesis de orden y belleza. Y en este punto se cita siempre a las abejas. Sería más fácil construir el panal con triángulos o con cuadrados, pero con el hexágono se obtiene una mayor superficie del panal, permitiendo almacenar una mayor cantidad de miel, utilizando la mínima cantidad de cera. Si comparamos un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono de igual perímetro, el área que encierra el hexágono es un 50% mayor que la que encierra el triángulo y un 15% mayor que la del cuadrado. Es decir, que, con la misma cantidad de cera usada, la forma hexagonal es capaz de almacenar un 50% más de miel que la forma triangular, y un 15% más que la cuadrada.

Este es un claro ejemplo de estética y funcionalidad unidas. «La perfección de la belleza matemática es tal que lo que es más bello y regular resulta ser también lo más útil y excelente», afirmaba D’Arcy Thompson (1860-1948). Y el matemático Sr. Fujiwara decía que ningún matemático se plantea su trabajo como algo que pueda tener aplicación práctica, pero sea como fuere, con el transcurso del tiempo suele encontrarse alguna. Más aún, dice, es la matemática bella aquella a la que tarde o temprano se le encuentra aplicación práctica. Si algún tipo de matemática pudiera no ser considerada bella, termina desapareciendo. En cierto modo, se encuentra una relación entre la belleza de un teorema y la realidad del mundo, porque también la estructura del mundo real está repleta de belleza.

La mandorla (vesica piscis)

Aunque el símbolo geométrico de la Tierra es el cuadrado y el del Cielo un círculo, a veces se utilizan dos círculos para simbolizar el mundo superior y el inferior, es decir, el cielo y la tierra. La unión e intersección de estos dos círculos es la mandorla, con forma de almendra, un símbolo conocido desde la más remota Antigüedad. Esta figura es equiparable a la llamada «vesica piscis», que literalmente traducido del latín significa ‘vejiga de pez’, habiéndose nombrado así por el parecido con las vejigas que antiguamente se usaban como contenedores de agua, que, llenas, tomaban la forma de pez. Por necesidades artísticas e iconográficas, los dos círculos pasan a ser el de la izquierda (materia) y el de la derecha (espíritu). Y dentro de la mandorla suele colocarse a Jesús el Cristo, al Pantocrátor, o a la Virgen. La particularidad de esta figura, entre otros motivos, proviene de que produce un número con infinitos decimales, perteneciente a la misma familia de f y p (fi y pi), llamados también números inconmensurables. Se trata del número 1,7320…, que se representa como √3, y es la razón o relación entre la recta A-B y la recta C-D. Para un valor A-B = 1, C-D = 1,7320…

Curiosamente, se produce una aproximación a este número dividiendo 265 por 153, operación que ya era conocida desde la Antigüedad. Y aquí aparece el número 153, muy especial por varios motivos. Lo primero que se descubre es que es un número triangular o trino. Y la cosa no se queda ahí, puesto que 153 es la suma de la función factorial de los 5 primeros números:

1! = 1

2! = 2×1 = 2

3! = 3x2x1 = 6

4! = 4x3x2x1 = 24

5! = 5x4x3x2x1 = 120 1+2+6+24+120 = 153

(Para los que somos de letras, la función factorial es una fórmula matemática representada por el signo de exclamación «!», que consiste en multiplicar todos los números enteros y positivos que hay entre el número que aparece en la fórmula y el número 1).

Pero aún hay más. Hemos dicho que 153 es triangular. Tomemos cualquier número múltiplo de tres, por ejemplo, 1728, y a cada una de sus cifras la vamos elevando a potencia de tres, una y otra vez, y sobre las cifras resultantes:

1728: 1+7+2+8=864

864: 8+6+4=792

792: 7+9+2=1080

1080: 1+0+8+0=513

513: 5+1+3=153

El resultado siempre acaba en 153. Puede hacerse la prueba con cualquier otro número múltiplo de tres.

Y, por si fuera poco, aún hay más. Este número aparece citado en el Evangelio de San Juan, 21, donde se cuenta que Simón Pedro capturó con su red y de una sola vez 153 peces, pescando en el río Tiberíades. La Iglesia lo considera un milagro de Jesús, pero ¿tendrá esto algo que ver con la vesica piscis?

La flor de la vida

Partiendo de las dos circunferencias que producían la mandorla, o vesica piscis, se construye la maravillosa flor de la vida. La flor de la vida representa el origen de las cosas y al mismo tiempo la indisoluble conexión entre ellas. Su patrón numérico y geométrico es una red que interconecta todos los niveles del universo y representa la Unidad en y con el Todo.

Tipografías matemáticas

En el diseño de una buena tipografía influye la estética, la proporción y la geometría. Por ello, a lo largo de la historia muchos artistas han diseñado letras y números con belleza matemática. Vemos un ejemplo de letra M diseñada por el matemático Luca Paccioli (1445–1517), y letra B de Francesco Torniello (1490-1589).

Medir la belleza

El placer estético que la obra artística pueda generar en el observador es, en gran medida, algo subjetivo. Pero ¿existe algún modo de, al menos, aproximarse a un criterio objetivo de belleza? El número de oro es probablemente el baremo más conocido para determinar si algo es objetivamente bello. Sin embargo, ha habido quien ha buscado más. Concretamente, el matemático George Birkhoff (1844-1944) publicó en 1930 A Mathematical Theory of Aesthetics y Aesthetic Measure (una teoría matemática de la estética y medida estética). Estableció la siguiente fórmula: M = O/C, donde M es la medida estética, O es el orden estético y C la complejidad. El orden estético viene dado por la regularidad de los elementos que conforman la obra artística. La complejidad mide la mayor o menos presencia de dichos elementos. Con independencia de la efectividad de la fórmula, de ella se desprende que hay mayor belleza cuando decrece la complejidad, o sea, que hay una relación directa entre belleza y sencillez.

Condiciones básicas para ser un genio de las matemáticas

Conociendo la vida de los principales matemáticos de la historia, el Sr. Fujiwara dice que ha llegado a la conclusión de que para que surja un genio de las matemáticas deben cumplirse tres condiciones:

1) Que en su país o lugar de nacimiento haya un respeto, incluso una veneración, por la naturaleza y por lo divino, o al menos un respeto por la tradición.

2) Experiencia cotidiana con la belleza. Si alguien no encuentra belleza en su entorno más próximo, nunca llegará a ser un matemático. Ya desde niño hay que aprender a valorar la belleza, y esto no es cuestión de tener un coeficiente intelectual alto.

3) Debe haber una conciencia de espiritualidad, un aprecio y valoración del mundo interior, de forma que el deseo de obtener beneficios económicos podría ser un obstáculo para el desarrollo de un matemático.

Un lugar donde no se cumpla ninguna de las tres condiciones, probablemente no tendrá grandes matemáticos.

EPÍLOGO

Muchas personas piensan que el dominio de las matemáticas está reservado a unos pocos especialmente dotados, y esto quizá sea cierto a partir de cierto nivel, pero cualquier persona puede alcanzar un conocimiento básico y disfrutar de la belleza que las matemáticas encierran. Las matemáticas, como la literatura, la pintura o la música, son una forma de enriquecimiento del espíritu. Las formas y las simetrías que vemos en el arte se describen y teorizan matemáticamente, de manera que las matemáticas son una ciencia, pero muy cercana al arte.

En un sentido trascendente, como se entendía en la escuela pitagórica, podemos afirmar que la propia belleza tiene un origen matemático; para comprender esto solo es necesario descubrir el sentido de trascendencia, para lo cual podemos comenzar observando la naturaleza y toda la belleza que hay en ella.

Todo lo que las matemáticas esconden, y falta por descubrir, representan algo misterioso. Y como dijo Albert Einstein: «La experiencia más bella y profunda que puede tener el ser humano es el sentido de lo misterioso». Y ese misterio es también la causa del atractivo de las matemáticas, que actúa como un imán para la mente. Adentrarse en ellas implica un sentido de trascendencia; y aunque se revisten de cierta practicidad, nos llevan a cuestionarnos sobre aspectos profundos de la vida y de la existencia.

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Bibliografía

El arte y la belleza, claves para entender la expresión artística, Miguel Ángel Padilla, Editorial N.A., 2006.

Introducción a la belleza de las matemáticas, Yoko Ogawa y Masahiko Fujiwara, Editorial Funambulista, 2017.

El infinito placer de las matemáticas, Alexandro Maccarrone, Blackiebooks, 2023.

Filosofía y mística del número, Matila C. Ghyka, Colección Poseidón, (1952) 1998.

Historia de las matemáticas, del cero al infinito, Sergio Castro, Galobart, 2019.

La divina geometría, Jaime Buhigas Tallon, La Esfera de los Libros SL, 2008.

La proporción áurea, el lenguaje matemático de la belleza, Fernando Corbalán, RBA Coleccionables S.A., 2012.

La armonía es numérica, Javier Arbonés y Pablo Milrud, RBA Coleccionables S.A., 2012.

La poesía de los números, de Antonio J. Durán Guardeño, RBA Coleccionables S.A., 2012.