Lunes, 01 Junio 2020 00:00

La teoría matemática de colas

Quizás a algunos de nuestros lectores les haya sorprendido el título de este artículo y haya pensado: «Ya están los matemáticos queriendo tomar protagonismo en cualquier asunto». Y algún otro pensará que esas colas que todos nos vemos obligados a mantener durante el confinamiento para acceder a cualquier comercio me han trastornado la cabeza.

En nuestra mente se asocia el concepto de «cola» con el de la línea que formamos en la caja de un supermercado o durante la espera de un transporte público (autobús, tren, avión, etc.). Pero uno de los objetivos de este pequeño artículo es agrandar la capacidad de reflexión de las situaciones cotidianas que normalmente nos pasan desapercibidas y mostrar cómo las colas intervienen en muchísimos aspectos de nuestra vida diaria. Y, por otra parte, quiero apuntar la gran complejidad de esta teoría, que os confieso que yo tampoco termino de comprender.

El primer matemático que se preocupó del estudio de las colas fue el danés Agner Krarup Erlang, que, en 1909, estudió el dimensionamiento de las centrales telefónicas para atender óptimamente el servicio de llamadas, que por entonces se conmutaba manualmente por medio de operadores, las famosas telefonistas que algunos de nosotros o nuestros padres conocieron.

Una cola se produce cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad del servicio ofrecido. La teoría de colas estudia el ritmo de entrada de los clientes y el tiempo de servicio con cada cliente, y tiene como objetivo equilibrar los costes de capacidad del servicio y el «coste» de una espera larga.

En algunos casos sencillos, por ejemplo al realizar el pago en un supermercado o en un peaje de la autopista, podríamos decir que se evitarían las colas si hubiera un elevado número de cajas disponibles. En el caso de un servicio de atención telefónica, si hubiera «infinitos» operadores esperando nuestras llamadas para atender nuestras consultas. Pero, obviamente, los costes de atención superarían aquellos que el cliente estaría dispuesto a pagar: si cada vez que voy al supermercado hay veinte empleados con una caja abierta en espera de un cliente, de alguna forma ese coste repercutiría en los gastos de gestión del supermercado; o si voy a un bar o restaurante y hubiera veinte camareros disponibles para atenderme, más otros veinte cocineros preparados para atender mi petición.

La afirmación anterior no siempre es cierta, como en el caso de la conducción en carretera si hay demasiados carriles disponibles, pues los automovilistas cambiarían demasiado de carril, enlenteciendo el flujo de una caravana. Este efecto se conoce como la paradoja de Braess, matemático alemán también del siglo XX.

La teoría de colas es una de las ramas de la llamada «investigación operativa», que con métodos analíticos ayuda a la toma de decisiones. La investigación de operaciones se engloba dentro de las matemáticas aplicadas, que es algo de lo que presumimos los matemáticos para mostrar a la sociedad cómo ayudamos a resolver problemas y que las llamadas ciencias exactas no son solo puras abstracciones difíciles de entender.

La «matematización» del estudio de colas es un proceso complejo, en el que se tiene en cuenta la distribución de llegada de los clientes, el tiempo de espera, si los clientes por impaciencia pueden cambiar de cola o abandonarla, el orden de atención a los clientes, el tiempo de atención y la forma de salida de la cola.

En la teoría de colas intervienen conceptos de teoría de la probabilidad y de la estadística. En particular, las llamadas cadenas de Markov, de nuevo otro matemático. Son procesos estocásticos que se comportan de forma que la probabilidad de que ocurra un evento depende solamente del evento inmediatamente anterior, o como se suele decir, no guardan memoria del pasado: la probabilidad de que algo ocurra depende solo del estado actual, no de lo que ocurrió en el pasado. El más típico ejemplo es el lanzamiento de una moneda: si acaba de salir seis veces seguidas una «cara», la probabilidad de que en la próxima tirada aparezca una «cruz» es la misma que antes: un 50%.

Otros sistemas de colas son más complicados, por ejemplo el embarque y desembarque de un avión, que cuenta solo con una o dos puertas.

Para saber más, siempre son recomendables los vídeos de Eduardo Sáenz de Cabezón: https://www.youtube.com/watch?v=VPuRoEOVogo . Allí puedes aprender si sirve de algo cambiarse de cola cuando estás en el supermercado.

Teoria de colas

Apuntes de la teoría de colas del Prof. José Pedro García Sabater de la Universidad Politécnica de Valencia.

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Una contribución al mundo de las matemáticas proviene de los Vedas, los libros sagrados del hinduismo; es una lista de dieciséis aforismos o sutras:

1. Por uno más que uno antes.

2. Todos de 9 y el último de 10.

3. En vertical y en cruz.

4. Transposición y aplicación.

5. Si el Samuccaya es el mismo es cero.

6. Si uno está en proporción el otro es cero.

7. Por adición y por sustracción.

8. Por finalización o no finalización.

….

La revelación actual del uso matemático de los Vedas provino, a principios del siglo XX, de un joven swami llamado Bharati Krishna Tirthaj. Fue un niño prodigio, licenciado en sánscrito, filosofía, inglés, matemáticas, historia y ciencias a la edad de veinte años, y poseía el don de la palabra. Nombrado Shankaracharya (una de las posiciones de mayor rango dentro de la sociedad tradicional hindú), en 1925, pronunciaba sermones como guía espiritual y promovía un método de cálculo proveniente de los Vedas, aunque decía: «La relación con las matemáticas solo es detectable a partir de una revelación intuitiva».

Uno de los aforismos matemáticos de los Vedas más sencillo es el segundo: Todos de 9 y el último de 10. Sirve para restar un número cualquiera de una potencia de 10. Se trata de restar los primeros números de 9 y el último de 10. Cuántas más cifras tiene el número más útil es la regla. Por ejemplo, 3478 restado de 10.000.

10000-3478, restaré 3 de 9, 4 de 9, 7 de 9 y 8 de 10. La respuesta es 6522.

A aquellos que le preguntaban si los sutras de los Vedas trataban de magia o de matemáticas respondía: «Es magia hasta que lo entiendes, y es matemáticas a partir de ese momento».

Una vez añadió un cuento: Dos reyes hindúes se encontraron en un bosque. Un rey le dijo al otro que podía decir cuántas hojas tenía un árbol con solo mirarlo. El segundo rey lo puso en duda y se dispuso a arrancar las hojas del árbol para contarlas una a una. Cuando terminó, obtuvo el número exacto que había dado el primer rey. Esta historia es testimonio de que los indos antiguos eran capaces de contar grandes cantidades de objetos mirándolos como un todo.

Estas y otras muchas habilidades se habían perdido, pero fueron recuperadas por Tirthaji. A la edad de ochenta y dos años, en 1958, visitó Estados Unidos, viaje que fue motivo de controversia en su país natal porque no podía viajar al extranjero como líder espiritual, y motivo de asombro en el Instituto Tecnológico de California, donde unió números y metafísica con espíritu lúdico.

Si nos preguntamos: ¿cómo se conectan las matemáticas con la espiritualidad?, podemos recurrir a la respuesta que una vez dio Shankaracharya. Después de una larga reflexión, enunció: «La creación, la perdurabilidad y la destrucción del universo suceden de una forma muy matemática. No diferenciamos entre matemáticas y espiritualidad. Consideramos que las matemáticas son el manantial de la filosofía india».

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Todos los que ya se han preguntado sobre qué es lo real, han podido qui zás hacerse la siguiente cuestión: ¿podemos llamar real a aquello que tan solo puede ser aprehendido por la mente, pero no por los sentidos?

Por ejemplo, ¿es real una línea recta, absolutamente recta, sin principio ni fin, sin espesura, ni color, ni materia, ni luz, ni nada más que no sea una trayectoria de puntos sin dimensión a través del espacio infinito? ¿La línea recta, por no tener materia ni nada que la represente en el mundo físico, dejará por eso mismo de ser real?

Innumerables filósofos, matemáticos, pensadores e incluso poetas ya presentaron sus teorías, ensayaron sus argumentos, debatieron sus demostraciones y, aun así, ahora mismo, continuamos haciéndonos la pregunta: ¿qué es real?

Presentamos aquí una hipótesis —dada la ausencia de una demostración aceptada universalmente— de que existe un mundo matemático, una realidad numérica independiente del mundo físico. Es una hipótesis muy antigua, intuida, para muchos verdadera, pero que aquí presentamos sin certezas.

Hydrogen Density Plots

Es muy común oír a grandes matemáticos afirmar que, al buscar leyes matemáticas, sienten que tan solo avanzan por territorios ya existentes, descubriendo lo que esos nuevos paisajes ofrecen a una conciencia preparada para ver. Pensemos, por ejemplo, en el caso del gran matemático hindú Srinivāsa Rāmānujan (1887-1920), que descubría sus fórmulas y ecuaciones —de gran influencia después en varias áreas de la matemática— por pura intuición o inspiración, dejando para después las demostraciones que acabarían por confirmarlas.

También el matemático Bernhard Riemann (1826-1866) tuvo una de esas inspiraciones cuando presentó su hipótesis de que la distribución de los números primos respeta una ecuación llamada función zeta de Riemann. A pesar de que esta fórmula ya ha sido confirmada para los primeros 10.000.000.000.000 de números primos, aún no disponemos de una demostración final para todos los infinitos números primos.

Hay una diferencia importante entre inspiración y demostración. Una demostración es el resultado de un encadenamiento lógico de razonamientos matemáticos que fundamentan una determinada conclusión. La inspiración, o intuición, en la que el matemático siente haber encontrado una verdad, surge como una iluminación espontánea. Bien esté distraído, en una situación cotidiana, bien en medio de una meditación sobre un tema determinado, la intuición surge de un modo abrupto e inesperado, como un destello, acompañada de un sentimiento de verdad y de certeza. Fue lo que le sucedió, por ejemplo, entre tantos otros, al físico checo Petr Šeba mientras viajaba en autobús, cuando descubrió una relación entre las previsiones de los autobuseros sobre los tiempos entre paradas y los estados de partículas subatómicas, patrón que acabaría siendo confirmado experimentalmente. Es llamado «universalidad», un patrón intermedio entre lo aleatorio y lo regular (periódico), que se hace evidente también en la ecuación de Riemann asociada a los números primos.

Fuente de la imagen: https://www.quantamagazine.org/in-mysterious-pattern-math-and-nature-converge-20130205/

El patrón rojo presenta un equilibrio ente aleatoriedad y regularidad conocido como «universalidad», que ha sido observado en el espectro de muchos sistemas complejos y correlacionados. En este espectro, una función llamada «función de correlación» da la probabilidad exacta de encontrar dos líneas espaciadas por una distancia dada.

Números primos

Un número primo es solo divisible por sí mismo o por la unidad, de modo que dé como resultado un número entero. Entre los diez primeros números, encontramos cuatro primos (2, 3, 5 y 7). En los primeros cien, son 25. En los primeros mil, 168.

Los números primos así descritos no siguen, aparentemente, ningún orden conocido, no tienen ritmo, no son previsibles ni tienen un valor máximo. Euclides, en torno al 300 a. C., demostró que son infinitos. Tal supuesta aleatoriedad de los números primos es una de las garantías usuales de seguridad para la construcción de algoritmos informáticos de encriptación.

Por otro lado, comenzaron a ser identificados algunos indicios de regularidad en tal distribución de los números primos. Además de la ya referida universalidad de esta distribución —que conjuga la aleatoriedad con la regularidad— fue también descubierto, estadísticamente, que las cifras finales de los números primos siguen una curva de probabilidad en relación con las cifras finales de los primos siguientes. Por ejemplo, después de un primo que termina en 9, es un 65% más probable que el siguiente primo termine en 1 que nuevamente en 9. Si la secuencia fuese estrictamente aleatoria, la probabilidad estaría uniformemente distribuida por las cifras 3, 7 y 9. Es como si los números primos evitasen repetirse a sí mismos, y tuviesen preferencia sobre cuáles deben ser los primos siguientes.

Tal vez se pueda generar una cierta confusión de conceptos al referirnos a los primos como aleatorios. Los números primos están perfectamente determinados, fijos, en sus posiciones, inexorables en sus valores numéricos. Después del número primo 101, sabemos que sigue el primo 103. Esto sería tan solo aleatorio o debido al azar si en vez del 103 pudiera ser cualquier otro número, pero no es así. La cuestión está en saber por qué, a lo largo de la infinita recta de los números reales, están en aquellas posiciones, qué ley, qué orden, qué fuerza misteriosa los colocó en sus debidos lugares.

La ciencia de hoy en día, por lo común, siempre que se encuentra ante un patrón que no consigue codificar, o un comportamiento que no puede explicar, recurre a las ideas ambiguas del azar y la aleatoriedad, para así llenar el vacío de nuestra ignorancia. Sucede eso, por ejemplo, en las explicaciones del big bang, en la evolución del universo, en las suposiciones de las teorías darwinistas, así como en el análisis de los números primos.

spectralpatterns

El azar y la aleatoriedad son suposiciones enraizadas en la mente de aquel que desconoce las leyes subyacentes. Son los grandes tótems que acabaron por sustituir la creencia en Dios, en el destino y en el sentido profundo de la vida y de la realidad.

Para nuestra intuición, se hace cada vez más evidente una relación profunda entre los números primos (tal como otras relaciones matemáticas entre los números y la naturaleza, por ejemplo con el número pi o phi) y la estructura del mundo físico en que vivimos. Todos los números enteros naturales, o son primos, o pueden ser escritos como el producto de números primos. Por ese motivo, los números primos son considerados los «átomos» de los números, de tal modo que a partir de ellos se pueden generar por multiplicación todos los otros. Preguntar por qué están en esas posiciones es lo mismo que preguntar por qué existe el hidrógeno, el helio, el litio y todos los otros elementos de la tabla periódica. Los elementos y sus propiedades existen de acuerdo con las leyes de la física atómica, que a su vez respetan las leyes matemáticas y geométricas.

De acuerdo con la física clásica, los sistemas atómicos complejos deberían expresar comportamientos caóticos, inestables e imprevisibles. Sin embargo, desde la respuesta de un átomo de hidrógeno a un campo magnético hasta las oscilaciones de grandes núcleos atómicos —que la física clásica no conseguiría prever—, la física cuántica está llegando a conseguir entrar en este aparente caos y desentrañar su orden escondido. Se ha conseguido esto solo gracias a la alianza entre los teóricos, tanto de la física como de la matemática, y el puente entre ambos ha sido, entre otras herramientas matemáticas, la intuida función zeta de Riemann.

prime numbers

Sistemas cuánticos y números primos

Riemann observó que los ceros de aquella fórmula corresponden a resultados precisos en la distribución de los números primos. Por otro lado, los físicos, basándose en la misma ecuación, encontraron una semejanza con la fórmula trazo para el caos cuántico, en el cual los ceros de la función zeta corresponden a la duración de los periodos orbitales. Esta última frase, desde luego, requiere explicaciones adicionales.

Como sabemos, los estados posibles de un sistema dado están cuantizados, o sea, no pueden asumir cualquier valor intermedio. Algo semejante sucede con los números primos, que asumen valores específicos y fijos, no pudiendo ser encontrados en cualquier zona intermedia de la línea de los números. Dicho de otra manera, aquello que determina la posición o el valor de los números primos parece ser lo mismo que aquello que determina la posición o valor de los estados de un sistema cuántico, especialmente los niveles energéticos de los núcleos atómicos pesados como el uranio.

Cuando miramos los números, o sea, cuando los vemos con el ojo interno de nuestra mente, ¿qué tipo de realidad estamos mirando? ¿Dónde está la estructura y la fuente de los patrones matemáticos que modelan tantos comportamientos del mundo físico? ¿Dónde están los números primos y cómo consiguen actuar sobre nuestro mundo? Tal vez el siguiente relato ayude a pensar sobre estas preguntas.

John y Michael eran dos gemelos autistas cuyo pasatiempo preferido consistía en encontrar, con la única ayuda de su propia mente, grandes números primos. Oliver Sacks, el neurólogo que identificó este extraño comportamiento —describiéndolo en su libro El hombre que confundió a su mujer con un sombrero—, necesitó recurrir a largas tablas numéricas para descifrar los números que los gemelos intercambiaban entre sí; también necesitarían estas tablas los mejores matemáticos del mundo, si hubieran querido descifrarlo; sin embargo, los gemelos autistas tan solo necesitaban de un momento de intensa concentración para verificar si dado un número, por mayor que fuese, era o no un número primo. El mayor primo que encontraron tenía 22 dígitos.

¿Cómo es esto posible? Siglos de investigación matemática, geniales intelectos y vidas enteras aplicadas al estudio y al trabajo matemático, y aún estamos aparentemente lejos de encontrar una fórmula que prevea el valor para todos los números primos. Y dos gemelos, con aquello que la ciencia explica como uno más de sus azares de mutación genética, aparecen con la facultad de captar en su subjetividad un mundo de números inaccesible a la mayor parte de los mortales.

Siguiendo la tradición pitagórica, volvemos a recordar las palabras de Pitágoras de que todo en el universo respeta la ley del número. Al alzar sobre el mundo físico nuestra intuición contactamos con un mundo matemático, cuya realidad es comprobada, tan solo, por la profundidad de ese mismo contacto subjetivo en la sensibilidad de nuestra mente. No esperemos demostraciones ni pruebas cabales para aquello que requiere de intuición para ser percibido.

De la misma manera que en incontables artículos de matemáticas se encuentra la conjetura de «si la hipótesis de Riemann es correcta, entonces…», nosotros podemos conjeturar otro tipo de hipótesis, la enseñada por Pitágoras y tantos otros sabios: la existencia del mundo matemático como realidad existente por sí misma. Si el mundo matemático es una realidad, o sea, si es parte de una estructura cósmica invisible e inmaterial, previa a cualquiera de los fenómenos físicos, ¿no tiene sentido que esa realidad, como una mente cósmica, organice y disponga de toda la realidad material de acuerdo con leyes que respetan invariablemente los principios matemáticos, aritméticos y geométricos?

¿No es más lógico que, en vez de que asumamos pretenciosamente que algo que existe en el universo pueda surgir al azar, asumamos que por detrás de todo lo que no comprendemos hay un significado? ¿No tiene más sentido el que detrás de todo lo aparentemente casual existe una causa? ¿No tiene más sentido pensar que por detrás de todo el caos existe un orden aún no explicado? Tal vez podamos afirmar, si la hipótesis de una realidad matemática es correcta, que todo lo visible y mensurable es tan solo una sombra de lo invisible e inmensurable.

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El origen de las matemáticas en nuestro mundo occidental se atribuye a Grecia. No obstante, en la Antigüedad el concepto era diferente al actual. Mientras hoy se considera la matemática una ciencia independiente de las demás, en aquella época formaba parte de un conjunto de artes y materias inseparables, a la vez que indispensables, para la formación integral del individuo.

Si pretendemos hacer un breve recorrido por la historia de las matemáticas, también deberemos hacerlo por la de la filosofía, sobre todo en la Antigüedad.

Sin embargo, hemos de retroceder en el tiempo y, haciendo oídos sordos a algunas enseñanzas de los actuales sistemas de educación y sus prejuicios, reconocer que el origen de estas ciencias no fue una invención de los griegos, sino que ya civilizaciones más antiguas poseían conocimientos matemáticos aplicados a la astronomía, la música y la arquitectura. Fueron culturas que no tuvieron forma de entrar en contacto con los griegos y otras que sí lo hicieron, aunque, más bien, fueron ellas las que transmitieron gran parte de ese conocimiento a Grecia, para luego ser difundido en Occidente.

Desde la más remota Antigüedad, el ser humano ha buscado un lenguaje, a la vez universal y sintético. Sus investigaciones le han llevado a descubrir imágenes y símbolos que, de forma sencilla, expresan unas realidades más ricas y más complejas. El lenguaje simbólico adquiere su mayor síntesis en las figuras geométricas. Estas son la estructura de lo que llamamos el mundo manifestado. Y son, a la vez, la plasmación de las ideas, de los arquetipos, siguiendo los términos usados por Platón. Pero para poder interpretarlas debemos vivificarlas, comprenderlas, para poder actuar conforme a leyes eternas y que no sean solo teorías o algo externo a nuestra vida.

Las matemáticas a través de la historia Los símbolos geométricos 1

El término geometría significa literalmente «medida o medición de la Tierra». Ha sido una herramienta fundamental para el ser humano, no solo en la interpretación de la naturaleza, sino también en las obras que el hombre plasma con sus manos. En el universo se concebía un plano invisible que daba origen a lo visible. Se evidenciaba un orden, una armonía que surgía del número como idea y que se expresaba a través de hechos geométricos. El artesano, el escultor, el arquitecto, el músico, imitando al demiurgo, componía sus obras, seguía un plan, una medida, un ritmo que es apreciable en los ritmos, los ciclos y las proporciones de la naturaleza.

La aplicación universal de formas geométricas, semejantes en lugares separados por vastos espacios de tiempo, cultura, geografía y creencias, es prueba de conceptos que se basan en unas mismas enseñanzas, transmitidas desde tiempos remotos a los diferentes pueblos por unos padres espirituales, por sabios que tenían un conocimiento profundo de la vida. «Como es arriba, así es abajo», nos dice la enseñanza hermética. Un principio de correspondencia común a las ciencias arcanas, donde las formas del universo manifestado se reflejan en el cuerpo y constitución del hombre. Macrocosmos y microcosmos crecen en un ritmo sincronizado, proporcionado en la arquitectura y el arte, que actúa como nivel intermedio entre estas naturalezas armonizándolas.

Los símbolos geométricos

Desde la Antigüedad, la geometría ha sido inseparable de la magia. Aun las arcaicas inscripciones en las rocas siguen formas geométricas. Estos profundos conocimientos pudieron ser transmitidos de un iniciado a otro por medio de símbolos geométricos. Unas pocas formas geométricas constituyen la base de toda la diversidad de la estructura del universo.

El triángulo

Constituye la tríada o ternario. Tres puntos dispuestos al azar forman naturalmente un triángulo. El tres es considerado un número perfecto porque es el primer impar, masculino, y es igual a la suma de los números que lo preceden. Además, es el mínimo número de términos necesarios para establecer cualquier relación o proporción. Es símbolo de todo proceso dinámico. Con tres lados, tres vértices y tres ángulos, el triángulo es la primera figura plana. Y puesto que contiene la recta, el ángulo y la superficie, es como una síntesis de la geometría. Es, también, la imagen más sencilla capaz de hacer visible que la dualidad se resuelve en la unidad.

El triángulo se encuentra en todas la civilizaciones con una significación simbólica. En la escritura china, por ejemplo, el triángulo equilátero significa la reunión, la armonía, el bien supremo del hombre. En la bandera nacional del Tíbet, aparece un triángulo de color blanco que simboliza una montaña, eternamente nevada, por encima de la cual aparece el sol.

Las matemáticas a través de la historia Los símbolos geométricos 3

El círculo

El círculo ha sido, seguramente, uno de los primeros símbolos utilizados por el hombre. Es simple de dibujar, es una forma visible cotidianamente en la naturaleza, visto en el cielo como los discos del Sol y la Luna, en las formas de animales y plantas y en las estructuras geológicas. Muchas construcciones antiguas adoptaron esta forma. Un ejemplo son las construcciones megalíticas de piedra, como es el caso de Stonehenge.

La forma circular ha imitado la redondez del horizonte visible, haciendo de cada construcción un pequeño mundo en sí mismo. El círculo ha sido empleado como símbolo de la eternidad y de la unidad, ya que no tiene principio ni fin y siempre retorna al mismo punto. También por esta razón simboliza el universo, no hay punto donde comience ni punto donde tenga fin, todo lo contiene y no hay nada fuera de él.

No hay círculo sin un centro. Este representa la parte no visible y que siempre es, porque sin el centro no hay círculo. También simboliza el destino y la ley cíclica porque, a medida que la rueda de la vida gira, los ciclos retornan marcando en la naturaleza la renovación de la espiral de la vida, y en la historia humana, el eterno retorno de los arquetipos.

Las matemáticas a través de la historia Los símbolos geométricos 4

El cuadrado

Relacionado con el número cuatro, representa en diferentes culturas la parte material de la creación, la personalidad, los cuatro puntos cardinales. Muchos templos fueron realizados bajo una forma cuadrada en su planta, representando el microcosmos y, con ello, la estabilidad del mundo. Esta es una característica de las llamadas montañas del mundo, los zigurats, las pirámides y las stupas. Estas estructuras simbolizan el punto de transición entre el cielo y la tierra y suelen estar orientadas hacia los puntos cardinales.

Las figuras geométricas, en antiguas culturas, expresaban la intervención del número en todos los procesos creativos, las ondas, las pulsaciones y las vibraciones que se conjugan en un cuerpo o forma, la representación de ideas y energías que, de una forma mágica, obedeciendo a leyes precisas, se manifiestan en el universo.

Las matemáticas a través de la historia Los símbolos geométricos 5

 

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Sábado, 01 Octubre 2016 00:00

Las matemáticas en la naturaleza

La ciencia actual nos ha permitido comprobar la maravillosa arquitectura íntima que tiene la materia. No existen estructuras al azar, sino acabados patrones de las matemáticas en la naturaleza que se repiten en lo grande y en lo pequeño. Las viejas escuelas de filosofía tenían buenas razones para recomendar desentrañar los secretos de las matemáticas a quienes pretendieran comprender el universo.

Principio de mínima acción

Nuestras máquinas y aparatos van cambiando con los tiempos, según las culturas y las épocas. Todo ello responde a una búsqueda de mayor eficacia y rendimiento. Mayor producción en menos tiempo y con el mínimo consumo de energía. Si nuestros sistemas de transporte han variado haciéndose más rápidos y con más comodidades para los pasajeros, si los ordenadores ocupan menos espacio que hace unas décadas y resuelven problemas con mucha más rapidez es porque, primeramente, existe una necesidad de mejoramiento de ese rendimiento y segundo, y mucho más importante, existe una inteligencia humana capaz de llevarlo a cabo. Del mismo modo, los diferentes seres de la naturaleza, incluido el hombre, por necesidades físicas y evolutivas, deben adaptarse a diferentes entornos en el transcurso de los tiempos, obedeciendo siempre a las leyes naturales.

En la naturaleza, los organismos minerales, vegetales, animales y el mismo ser humano cambian con el transcurrir de los siglos; especies enteras varían sus hábitos y formas para responder a los cambios ambientales o ante amenazas de otras especies. Todo esto responde a un orden, a una necesidad, a una Inteligencia y a una ley de evolución. Todos los organismos tienden hacia una posición de equilibrio estable, de manera que se evoluciona desde estados menos probables a estados más probables, tratando siempre de consumir el mínimo de energía.

La ciencia de los últimos tiempos ha hablado de una ley que rige los procesos de la materia y que se halla implícita en los diferentes postulados de química, física, astronomía y biología. Se trata de un principio de mínima acción que hace que la materia inerte se aglutine en un equilibrio estable, con máximo ahorro de energía. Leonardo da Vinci, entre muchas otras cosas, ya lo había intuido y reflejado en sus escritos: «La Naturaleza no infringe jamás su propia ley. ¡Oh, necesidad inexorable! Obligas a todos los efectos a ser los resultados directos de las causas, y por una ley suprema e irrevocable, cada acción natural te obedece de acuerdo al proceso más corto».

Según Matila Ghyka, las diferentes configuraciones de la materia cristalizada son estados de equilibrio estable, o relativamente estable, determinados por una causalidad rigurosa, y las propias reacciones químicas de los diferentes elementos simples se pueden explicar como una tendencia de los electrones a coordinarse según disposiciones cada vez más estables.

Uno de los principios más generales que gobiernan los estados de equilibrio de los sistemas físicos y químicos es el tomado de la mecánica racional: «Para que el equilibrio de un sistema cerrado sea estable, basta que su energía potencial pase por un mínimo». De ahí que el estudio de la cristalografía y de los minerales en los últimos tiempos surja como una ciencia donde se encuentran la geometría, la química molecular y la teoría general de simetría.

Particiones en el plano

En lo que la ciencia denomina materia inorgánica (organismos no vivos), se observa una tendencia en las formas a organizarse de forma simétrica y estática, a una nivelación que conlleva una distribución uniforme de los elementos que componen determinado organismo.

Es una ley de acción y reacción que se aplica en todos los niveles, y que en el mundo físico lo podemos observar como una simetría que tiende a la equipartición de fuerzas. Predomina entonces la geometría del cuadrado, el triángulo equilátero y, principalmente, el hexágono, en lo que se refiere al plano, pues, como ya sabemos, estos son polígonos que cubren perfectamente una superficie llana sin dejar intersticios. Es como una trama de adoquines donde no quedan espacios libres.

Entre estas mallas homogéneas, predominan en la naturaleza los triángulos como estructuras mínimas y, especialmente, el hexágono regular, al suprimir algunas líneas de los triángulos equiláteros. Esto conlleva un ahorro de materia y energía, ya que en este polígono, cualquiera de sus lados es igual al radio del círculo que lo envuelve. Es lo que se denomina una red isótropa, lo que significa que todos los puntos son equidistantes, hay una distribución homogénea. Esto no ocurre con un grupo de cuadrados o de rombos, ya que en las diagonales hay mayor longitud y son figuras deformables.

Las redes hexagonales son frecuentes en la naturaleza. La tendencia a la economía de sustancia hará que las formas tiendan al círculo, en el que se abarca la mayor superficie posible. Si disponemos de partículas circulares, que están próximas unas de otras y son sometidas a una presión uniforme y constante en todos los sentidos, la forma que surge es la hexagonal. Un ejemplo de ello son las células vivas dispuestas en una extensión lateral. Y en el reino mineral se aprecia en los cristales de nieve, en los paneles de las abejas o en los adoquines que cubren las aceras, en los tejidos celulares, en los ojos de la mosca, etc.

La forma es producto de aglutinamiento, adición de elementos semejantes. Es una yuxtaposición debido a una fuerza exterior, donde cada partícula se ubica y toma la forma influenciada por las partículas más próximas, de un modo directo y con el mínimo gasto de energía. Esta se distribuye sin que quede una fuerza resultante que pueda causar un desplazamiento. Se producen, entonces, caras planas; de ahí que sea la estructura típica en los cristales.

Particiones en el espacio

matemáticas en la naturaleza

Sin embargo, el mundo físico se desarrolla en tres dimensiones. Se ha visto cómo en la superficie existe el predominio de algunos polígonos regulares que cubren perfectamente un plano, regido por el principio de mínima acción. En las dos dimensiones, el círculo abarca la máxima superficie con el mínimo perímetro. Al pasar al volumen, la figura que más espacio abarca con el mínimo de superficie es la esfera, y también es el cuerpo que da la tensión superficial mínima, lo cual explica en el aspecto físico que muchos organismos de la naturaleza, entre ellos las células, tiendan a formar figuras circulares.

Cuando se presenta una tensión uniforme por todos los lados, como cuando se presionan varias esferas entre sí, el cuerpo que se forma, y que es equivalente al hexágono en el plano, no es un sólido regular como podría pensarse, sino que son dos poliedros combinados. Surge, pues, un sólido semirregular compuesto por seis cuadrados y ocho triángulos equiláteros, que se origina al dividir las aristas de un cubo por la mitad y unir estos puntos; es llamado cuboctaedro. Sin embargo, este cuerpo solo no divide perfectamente el espacio, deja intersticios que pueden ser rellenados con octaedros. Es igual a cubrir un espacio con esferas iguales, tangentes entre sí, uniendo los centros y los puntos de contacto. Esta figura se puede ver si se observa con atención un grupo de burbujas. Y es que, una de las características del cuboctaedro es que la longitud de cualquiera de sus aristas es igual al radio de la esfera que lo envuelve.

También es posible la división isótropa con una combinación de tetraedros y octaedros, los primeros en número doble. El único sólido que puede llenar el espacio sin vacíos es el cubo, pero igual que sucede con el cuadrado en el plano, la red que forma no es isótropa. El prisma rectangular con dos caras hexagonales, sería el desarrollo en el espacio de las celdas de las abejas y, por lo tanto, también equiparte el espacio, así como un prisma de sección triangular o rómbica.

Lord Kelvin, buscando una equipartición que diera para las células el volumen máximo para una superficie dada, encontró como solución el octaedro truncado, llamado también tetrakaidecaedro o poliedro Kelvin. Este se origina al dividir las aristas de un octaedro en tres partes y luego unir los puntos, de lo cual resultan como caras ocho hexágonos y seis cuadrados. Con esta característica, hereda del hexágono la propiedad de ser célula óptima en el espacio, ya que el ángulo que conforman dos caras es igual a 120º, tal como el hexágono en el plano.

las matemáticas en la naturaleza 5

Un estudio en detalle de estas particiones homogéneas del espacio nos lleva a la teoría de redes de puntos, que de alguna manera se entronca con los números figurados de los pitagóricos y toda su serie de números poligonales y poliedrales. Además, ha dado fundamentos a la cristalografía y al estudio de los minerales, siendo también sustento de esa ley que se presenta en la naturaleza buscando un equilibrio y que, en el campo de la química, fue formulada por Curie: «Un cuerpo tiende a tomar la forma que presenta una energía superficial mínima compatible con las fuerzas de orientación». La presencia del número en la química es evidente, pues las moléculas varían en función del número de átomos, y estos, del número de electrones y protones. Por cuestiones de espacio, no se entrará en demasiados detalles en este campo de la ciencia, pero se recordarán algunos conceptos íntimamente ligados al número.

Investigando en la estructura interna del átomo, se encontró que estaba formada por un núcleo con protones y neutrones de carga positiva y neutra, respectivamente, y una o varias capas de electrones que lo rodean en forma concéntrica. Para cada una de las capas de electrones se observa que vuelven a aparecer los números en forma de secuencia 2, 8, 18, 32 (2n2), cuya tendencia es que se vayan completando hasta llegar a estos números. Las capas con número de electrones par son más estables que con número impar. Los átomos buscan el equilibrio a base de ceder o tomar electrones, formando los consiguientes iones. Por ejemplo, el cloro (Cl) tiene en su última capa siete electrones, le falta uno para completar y llegar a 8; el sodio (Na), por su parte, tiene en su última capa solo un electrón; al tomar el cloro un electrón queda cargado negativamente; en cambio, el sodio, al ceder su electrón queda cargado positivamente. Al combinarse forman el átomo de cloruro sódico (ClNa), o sal común, cuyo cristal de forma se observa en la figura. A este sistema de combinación se le conoce como electrón de valencia.

Los núcleos también tienen sus capas de rotación de protones y de neutrones de acuerdo a la mecánica cuántica y a la distribución de probabilidad. Sucede también que las pares son más estables. Hay determinados números que son más estables: 2, 8, 20, 50 y 82.

El número de electrones determina el llamado número atómico. Mendeleyev agrupó los elementos basándose en este número desde 1 hasta 92 (los que se encuentran en la naturaleza). Los elementos van variando sus características de acuerdo a estos números. Los que tienen la última capa completa, al ser estables, son los gases nobles, pero como el átomo en sí mismo es neutro, tiene igual número de electrones que de protones en su núcleo, solo hay alguna pequeña diferencia debido a que algunos núcleos tienen más número de neutrones, haciendo que varíe el peso de ese átomo específico; a esto se llama isótopo. El peso atómico se obtiene del promedio de todos los isótopos de ese elemento. Como valor de referencia se tomó el del oxígeno, que es de 16. El más sencillo es el hidrógeno, que vendría a ser como la unidad, lo más representativo. Con la «elasticidad» o capacidad de combinación del carbono, que es el único capaz de formar cadenas y anillos, con sus enlaces covalentes, tendríamos la química específica del carbono, que se traduce en la química orgánica e inorgánica, con sus cuatro electrones en su última capa, a la que le hacen falta otros cuatro para completarla.

El estudio de la química conduce a comprender la unidad de la materia a través de la concepción inicial y milenaria de la alquimia, heredada por los sabios medievales del antiguo país de Kem, presente en las ideas gnósticas, neopitagóricas y neoplatónicas, ya transmitidas por Hermes.

Un átomo es algo muy parecido a un sistema solar, donde el núcleo del átomo, conformado por neutrones y protones, sería el sol, con unos electrones que orbitan a su alrededor a modo de planetas. Si imaginamos el tamaño del átomo como si fuera una catedral, el núcleo en su centro tendría el tamaño de una mosca, y a su alrededor, en un espacio aparentemente vacío, orbitarían los electrones, que son miles de veces más pequeños que el núcleo. Estos electrones no son materia; se han definido como partículas eléctricas, torbellinos de energía que giran sobre sí mismos y se desplazan a gran velocidad dando apariencia de solidez a la materia.

Se sabe que la diferencia entre un átomo de carbono y uno de oxígeno, por ejemplo, depende del número de protones en el núcleo y del número de electrones. Pero además, en épocas recientes, se ha visto la imposibilidad de determinar la composición y al mismo tiempo la órbita que describe el electrón, por lo que se ha llegado a definirlo como una probabilidad, un lugar geométrico o un punto en el espacio, con unas coordenadas de posición y velocidad que lo definen, es decir, un ente matemático. Y así, vemos que la ciencia pasa de la aparente materia física, a la electricidad y, luego, a entidades numéricas, donde la sentencia de Pitágoras «Todo está dispuesto conforme al número» cobra vigencia.

Bibliografía

ALVARADO PLANAS, Jorge. La estética del caos. Revista N.A. n.º 207.

BLAVATSKY, Helena P. La Doctrina Secreta. Tomos II y IV. Ed. Kier. Buenos Aires, 1999.

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Publicado en Ciencia
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