El origen de las matemáticas en nuestro mundo occidental se atribuye a Grecia. No obstante, en la Antigüedad el concepto era diferente al actual. Mientras hoy se considera la matemática una ciencia independiente de las demás, en aquella época formaba parte de un conjunto de artes y materias inseparables, a la vez que indispensables, para la formación integral del individuo.

Si pretendemos hacer un breve recorrido por la historia de las matemáticas, también deberemos hacerlo por la de la filosofía, sobre todo en la Antigüedad.

Sin embargo, hemos de retroceder en el tiempo y, haciendo oídos sordos a algunas enseñanzas de los actuales sistemas de educación y sus prejuicios, reconocer que el origen de estas ciencias no fue una invención de los griegos, sino que ya civilizaciones más antiguas poseían conocimientos matemáticos aplicados a la astronomía, la música y la arquitectura. Fueron culturas que no tuvieron forma de entrar en contacto con los griegos y otras que sí lo hicieron, aunque, más bien, fueron ellas las que transmitieron gran parte de ese conocimiento a Grecia, para luego ser difundido en Occidente.

Desde la más remota Antigüedad, el ser humano ha buscado un lenguaje, a la vez universal y sintético. Sus investigaciones le han llevado a descubrir imágenes y símbolos que, de forma sencilla, expresan unas realidades más ricas y más complejas. El lenguaje simbólico adquiere su mayor síntesis en las figuras geométricas. Estas son la estructura de lo que llamamos el mundo manifestado. Y son, a la vez, la plasmación de las ideas, de los arquetipos, siguiendo los términos usados por Platón. Pero para poder interpretarlas debemos vivificarlas, comprenderlas, para poder actuar conforme a leyes eternas y que no sean solo teorías o algo externo a nuestra vida.

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El término geometría significa literalmente «medida o medición de la Tierra». Ha sido una herramienta fundamental para el ser humano, no solo en la interpretación de la naturaleza, sino también en las obras que el hombre plasma con sus manos. En el universo se concebía un plano invisible que daba origen a lo visible. Se evidenciaba un orden, una armonía que surgía del número como idea y que se expresaba a través de hechos geométricos. El artesano, el escultor, el arquitecto, el músico, imitando al demiurgo, componía sus obras, seguía un plan, una medida, un ritmo que es apreciable en los ritmos, los ciclos y las proporciones de la naturaleza.

La aplicación universal de formas geométricas, semejantes en lugares separados por vastos espacios de tiempo, cultura, geografía y creencias, es prueba de conceptos que se basan en unas mismas enseñanzas, transmitidas desde tiempos remotos a los diferentes pueblos por unos padres espirituales, por sabios que tenían un conocimiento profundo de la vida. «Como es arriba, así es abajo», nos dice la enseñanza hermética. Un principio de correspondencia común a las ciencias arcanas, donde las formas del universo manifestado se reflejan en el cuerpo y constitución del hombre. Macrocosmos y microcosmos crecen en un ritmo sincronizado, proporcionado en la arquitectura y el arte, que actúa como nivel intermedio entre estas naturalezas armonizándolas.

Los símbolos geométricos

Desde la Antigüedad, la geometría ha sido inseparable de la magia. Aun las arcaicas inscripciones en las rocas siguen formas geométricas. Estos profundos conocimientos pudieron ser transmitidos de un iniciado a otro por medio de símbolos geométricos. Unas pocas formas geométricas constituyen la base de toda la diversidad de la estructura del universo.

El triángulo

Constituye la tríada o ternario. Tres puntos dispuestos al azar forman naturalmente un triángulo. El tres es considerado un número perfecto porque es el primer impar, masculino, y es igual a la suma de los números que lo preceden. Además, es el mínimo número de términos necesarios para establecer cualquier relación o proporción. Es símbolo de todo proceso dinámico. Con tres lados, tres vértices y tres ángulos, el triángulo es la primera figura plana. Y puesto que contiene la recta, el ángulo y la superficie, es como una síntesis de la geometría. Es, también, la imagen más sencilla capaz de hacer visible que la dualidad se resuelve en la unidad.

El triángulo se encuentra en todas la civilizaciones con una significación simbólica. En la escritura china, por ejemplo, el triángulo equilátero significa la reunión, la armonía, el bien supremo del hombre. En la bandera nacional del Tíbet, aparece un triángulo de color blanco que simboliza una montaña, eternamente nevada, por encima de la cual aparece el sol.

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El círculo

El círculo ha sido, seguramente, uno de los primeros símbolos utilizados por el hombre. Es simple de dibujar, es una forma visible cotidianamente en la naturaleza, visto en el cielo como los discos del Sol y la Luna, en las formas de animales y plantas y en las estructuras geológicas. Muchas construcciones antiguas adoptaron esta forma. Un ejemplo son las construcciones megalíticas de piedra, como es el caso de Stonehenge.

La forma circular ha imitado la redondez del horizonte visible, haciendo de cada construcción un pequeño mundo en sí mismo. El círculo ha sido empleado como símbolo de la eternidad y de la unidad, ya que no tiene principio ni fin y siempre retorna al mismo punto. También por esta razón simboliza el universo, no hay punto donde comience ni punto donde tenga fin, todo lo contiene y no hay nada fuera de él.

No hay círculo sin un centro. Este representa la parte no visible y que siempre es, porque sin el centro no hay círculo. También simboliza el destino y la ley cíclica porque, a medida que la rueda de la vida gira, los ciclos retornan marcando en la naturaleza la renovación de la espiral de la vida, y en la historia humana, el eterno retorno de los arquetipos.

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El cuadrado

Relacionado con el número cuatro, representa en diferentes culturas la parte material de la creación, la personalidad, los cuatro puntos cardinales. Muchos templos fueron realizados bajo una forma cuadrada en su planta, representando el microcosmos y, con ello, la estabilidad del mundo. Esta es una característica de las llamadas montañas del mundo, los zigurats, las pirámides y las stupas. Estas estructuras simbolizan el punto de transición entre el cielo y la tierra y suelen estar orientadas hacia los puntos cardinales.

Las figuras geométricas, en antiguas culturas, expresaban la intervención del número en todos los procesos creativos, las ondas, las pulsaciones y las vibraciones que se conjugan en un cuerpo o forma, la representación de ideas y energías que, de una forma mágica, obedeciendo a leyes precisas, se manifiestan en el universo.

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Publicado en Matemáticas
Sábado, 01 Octubre 2016 00:00

Las matemáticas en la naturaleza

La ciencia actual nos ha permitido comprobar la maravillosa arquitectura íntima que tiene la materia. No existen estructuras al azar, sino acabados patrones de las matemáticas en la naturaleza que se repiten en lo grande y en lo pequeño. Las viejas escuelas de filosofía tenían buenas razones para recomendar desentrañar los secretos de las matemáticas a quienes pretendieran comprender el universo.

Principio de mínima acción

Nuestras máquinas y aparatos van cambiando con los tiempos, según las culturas y las épocas. Todo ello responde a una búsqueda de mayor eficacia y rendimiento. Mayor producción en menos tiempo y con el mínimo consumo de energía. Si nuestros sistemas de transporte han variado haciéndose más rápidos y con más comodidades para los pasajeros, si los ordenadores ocupan menos espacio que hace unas décadas y resuelven problemas con mucha más rapidez es porque, primeramente, existe una necesidad de mejoramiento de ese rendimiento y segundo, y mucho más importante, existe una inteligencia humana capaz de llevarlo a cabo. Del mismo modo, los diferentes seres de la naturaleza, incluido el hombre, por necesidades físicas y evolutivas, deben adaptarse a diferentes entornos en el transcurso de los tiempos, obedeciendo siempre a las leyes naturales.

En la naturaleza, los organismos minerales, vegetales, animales y el mismo ser humano cambian con el transcurrir de los siglos; especies enteras varían sus hábitos y formas para responder a los cambios ambientales o ante amenazas de otras especies. Todo esto responde a un orden, a una necesidad, a una Inteligencia y a una ley de evolución. Todos los organismos tienden hacia una posición de equilibrio estable, de manera que se evoluciona desde estados menos probables a estados más probables, tratando siempre de consumir el mínimo de energía.

La ciencia de los últimos tiempos ha hablado de una ley que rige los procesos de la materia y que se halla implícita en los diferentes postulados de química, física, astronomía y biología. Se trata de un principio de mínima acción que hace que la materia inerte se aglutine en un equilibrio estable, con máximo ahorro de energía. Leonardo da Vinci, entre muchas otras cosas, ya lo había intuido y reflejado en sus escritos: «La Naturaleza no infringe jamás su propia ley. ¡Oh, necesidad inexorable! Obligas a todos los efectos a ser los resultados directos de las causas, y por una ley suprema e irrevocable, cada acción natural te obedece de acuerdo al proceso más corto».

Según Matila Ghyka, las diferentes configuraciones de la materia cristalizada son estados de equilibrio estable, o relativamente estable, determinados por una causalidad rigurosa, y las propias reacciones químicas de los diferentes elementos simples se pueden explicar como una tendencia de los electrones a coordinarse según disposiciones cada vez más estables.

Uno de los principios más generales que gobiernan los estados de equilibrio de los sistemas físicos y químicos es el tomado de la mecánica racional: «Para que el equilibrio de un sistema cerrado sea estable, basta que su energía potencial pase por un mínimo». De ahí que el estudio de la cristalografía y de los minerales en los últimos tiempos surja como una ciencia donde se encuentran la geometría, la química molecular y la teoría general de simetría.

Particiones en el plano

En lo que la ciencia denomina materia inorgánica (organismos no vivos), se observa una tendencia en las formas a organizarse de forma simétrica y estática, a una nivelación que conlleva una distribución uniforme de los elementos que componen determinado organismo.

Es una ley de acción y reacción que se aplica en todos los niveles, y que en el mundo físico lo podemos observar como una simetría que tiende a la equipartición de fuerzas. Predomina entonces la geometría del cuadrado, el triángulo equilátero y, principalmente, el hexágono, en lo que se refiere al plano, pues, como ya sabemos, estos son polígonos que cubren perfectamente una superficie llana sin dejar intersticios. Es como una trama de adoquines donde no quedan espacios libres.

Entre estas mallas homogéneas, predominan en la naturaleza los triángulos como estructuras mínimas y, especialmente, el hexágono regular, al suprimir algunas líneas de los triángulos equiláteros. Esto conlleva un ahorro de materia y energía, ya que en este polígono, cualquiera de sus lados es igual al radio del círculo que lo envuelve. Es lo que se denomina una red isótropa, lo que significa que todos los puntos son equidistantes, hay una distribución homogénea. Esto no ocurre con un grupo de cuadrados o de rombos, ya que en las diagonales hay mayor longitud y son figuras deformables.

Las redes hexagonales son frecuentes en la naturaleza. La tendencia a la economía de sustancia hará que las formas tiendan al círculo, en el que se abarca la mayor superficie posible. Si disponemos de partículas circulares, que están próximas unas de otras y son sometidas a una presión uniforme y constante en todos los sentidos, la forma que surge es la hexagonal. Un ejemplo de ello son las células vivas dispuestas en una extensión lateral. Y en el reino mineral se aprecia en los cristales de nieve, en los paneles de las abejas o en los adoquines que cubren las aceras, en los tejidos celulares, en los ojos de la mosca, etc.

La forma es producto de aglutinamiento, adición de elementos semejantes. Es una yuxtaposición debido a una fuerza exterior, donde cada partícula se ubica y toma la forma influenciada por las partículas más próximas, de un modo directo y con el mínimo gasto de energía. Esta se distribuye sin que quede una fuerza resultante que pueda causar un desplazamiento. Se producen, entonces, caras planas; de ahí que sea la estructura típica en los cristales.

Particiones en el espacio

matemáticas en la naturaleza

Sin embargo, el mundo físico se desarrolla en tres dimensiones. Se ha visto cómo en la superficie existe el predominio de algunos polígonos regulares que cubren perfectamente un plano, regido por el principio de mínima acción. En las dos dimensiones, el círculo abarca la máxima superficie con el mínimo perímetro. Al pasar al volumen, la figura que más espacio abarca con el mínimo de superficie es la esfera, y también es el cuerpo que da la tensión superficial mínima, lo cual explica en el aspecto físico que muchos organismos de la naturaleza, entre ellos las células, tiendan a formar figuras circulares.

Cuando se presenta una tensión uniforme por todos los lados, como cuando se presionan varias esferas entre sí, el cuerpo que se forma, y que es equivalente al hexágono en el plano, no es un sólido regular como podría pensarse, sino que son dos poliedros combinados. Surge, pues, un sólido semirregular compuesto por seis cuadrados y ocho triángulos equiláteros, que se origina al dividir las aristas de un cubo por la mitad y unir estos puntos; es llamado cuboctaedro. Sin embargo, este cuerpo solo no divide perfectamente el espacio, deja intersticios que pueden ser rellenados con octaedros. Es igual a cubrir un espacio con esferas iguales, tangentes entre sí, uniendo los centros y los puntos de contacto. Esta figura se puede ver si se observa con atención un grupo de burbujas. Y es que, una de las características del cuboctaedro es que la longitud de cualquiera de sus aristas es igual al radio de la esfera que lo envuelve.

También es posible la división isótropa con una combinación de tetraedros y octaedros, los primeros en número doble. El único sólido que puede llenar el espacio sin vacíos es el cubo, pero igual que sucede con el cuadrado en el plano, la red que forma no es isótropa. El prisma rectangular con dos caras hexagonales, sería el desarrollo en el espacio de las celdas de las abejas y, por lo tanto, también equiparte el espacio, así como un prisma de sección triangular o rómbica.

Lord Kelvin, buscando una equipartición que diera para las células el volumen máximo para una superficie dada, encontró como solución el octaedro truncado, llamado también tetrakaidecaedro o poliedro Kelvin. Este se origina al dividir las aristas de un octaedro en tres partes y luego unir los puntos, de lo cual resultan como caras ocho hexágonos y seis cuadrados. Con esta característica, hereda del hexágono la propiedad de ser célula óptima en el espacio, ya que el ángulo que conforman dos caras es igual a 120º, tal como el hexágono en el plano.

las matemáticas en la naturaleza 5

Un estudio en detalle de estas particiones homogéneas del espacio nos lleva a la teoría de redes de puntos, que de alguna manera se entronca con los números figurados de los pitagóricos y toda su serie de números poligonales y poliedrales. Además, ha dado fundamentos a la cristalografía y al estudio de los minerales, siendo también sustento de esa ley que se presenta en la naturaleza buscando un equilibrio y que, en el campo de la química, fue formulada por Curie: «Un cuerpo tiende a tomar la forma que presenta una energía superficial mínima compatible con las fuerzas de orientación». La presencia del número en la química es evidente, pues las moléculas varían en función del número de átomos, y estos, del número de electrones y protones. Por cuestiones de espacio, no se entrará en demasiados detalles en este campo de la ciencia, pero se recordarán algunos conceptos íntimamente ligados al número.

Investigando en la estructura interna del átomo, se encontró que estaba formada por un núcleo con protones y neutrones de carga positiva y neutra, respectivamente, y una o varias capas de electrones que lo rodean en forma concéntrica. Para cada una de las capas de electrones se observa que vuelven a aparecer los números en forma de secuencia 2, 8, 18, 32 (2n2), cuya tendencia es que se vayan completando hasta llegar a estos números. Las capas con número de electrones par son más estables que con número impar. Los átomos buscan el equilibrio a base de ceder o tomar electrones, formando los consiguientes iones. Por ejemplo, el cloro (Cl) tiene en su última capa siete electrones, le falta uno para completar y llegar a 8; el sodio (Na), por su parte, tiene en su última capa solo un electrón; al tomar el cloro un electrón queda cargado negativamente; en cambio, el sodio, al ceder su electrón queda cargado positivamente. Al combinarse forman el átomo de cloruro sódico (ClNa), o sal común, cuyo cristal de forma se observa en la figura. A este sistema de combinación se le conoce como electrón de valencia.

Los núcleos también tienen sus capas de rotación de protones y de neutrones de acuerdo a la mecánica cuántica y a la distribución de probabilidad. Sucede también que las pares son más estables. Hay determinados números que son más estables: 2, 8, 20, 50 y 82.

El número de electrones determina el llamado número atómico. Mendeleyev agrupó los elementos basándose en este número desde 1 hasta 92 (los que se encuentran en la naturaleza). Los elementos van variando sus características de acuerdo a estos números. Los que tienen la última capa completa, al ser estables, son los gases nobles, pero como el átomo en sí mismo es neutro, tiene igual número de electrones que de protones en su núcleo, solo hay alguna pequeña diferencia debido a que algunos núcleos tienen más número de neutrones, haciendo que varíe el peso de ese átomo específico; a esto se llama isótopo. El peso atómico se obtiene del promedio de todos los isótopos de ese elemento. Como valor de referencia se tomó el del oxígeno, que es de 16. El más sencillo es el hidrógeno, que vendría a ser como la unidad, lo más representativo. Con la «elasticidad» o capacidad de combinación del carbono, que es el único capaz de formar cadenas y anillos, con sus enlaces covalentes, tendríamos la química específica del carbono, que se traduce en la química orgánica e inorgánica, con sus cuatro electrones en su última capa, a la que le hacen falta otros cuatro para completarla.

El estudio de la química conduce a comprender la unidad de la materia a través de la concepción inicial y milenaria de la alquimia, heredada por los sabios medievales del antiguo país de Kem, presente en las ideas gnósticas, neopitagóricas y neoplatónicas, ya transmitidas por Hermes.

Un átomo es algo muy parecido a un sistema solar, donde el núcleo del átomo, conformado por neutrones y protones, sería el sol, con unos electrones que orbitan a su alrededor a modo de planetas. Si imaginamos el tamaño del átomo como si fuera una catedral, el núcleo en su centro tendría el tamaño de una mosca, y a su alrededor, en un espacio aparentemente vacío, orbitarían los electrones, que son miles de veces más pequeños que el núcleo. Estos electrones no son materia; se han definido como partículas eléctricas, torbellinos de energía que giran sobre sí mismos y se desplazan a gran velocidad dando apariencia de solidez a la materia.

Se sabe que la diferencia entre un átomo de carbono y uno de oxígeno, por ejemplo, depende del número de protones en el núcleo y del número de electrones. Pero además, en épocas recientes, se ha visto la imposibilidad de determinar la composición y al mismo tiempo la órbita que describe el electrón, por lo que se ha llegado a definirlo como una probabilidad, un lugar geométrico o un punto en el espacio, con unas coordenadas de posición y velocidad que lo definen, es decir, un ente matemático. Y así, vemos que la ciencia pasa de la aparente materia física, a la electricidad y, luego, a entidades numéricas, donde la sentencia de Pitágoras «Todo está dispuesto conforme al número» cobra vigencia.

Bibliografía

ALVARADO PLANAS, Jorge. La estética del caos. Revista N.A. n.º 207.

BLAVATSKY, Helena P. La Doctrina Secreta. Tomos II y IV. Ed. Kier. Buenos Aires, 1999.

GHYKA, Matila. Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes. Ed. Poseidón. Barcelona, 1983.

GHYKA, Matila. El número de oro: I. Los ritmos – II.Los ritos. Ed. Poseidón. Barcelona, 1978.

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